מצגת הסבר – גאומטרייה

12 שקפים · משפטים במעגל, הוכחה בטענה ונימוק, דמיון משולשים ויחסי שטחים

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דגאומטרייה · מצגת הסבר

גאומטרייה

מצגת הסבר – מעגלים, דמיון משולשים ויחסי שטחים

מתמטיקה 5 יח״לשאלון 35571תכנית חדשה

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355711 / 12

בס״דגאומטרייה · מצגת הסבר

מה נלמד?

בבחינה זו שאלה 4. כמעט תמיד יש סרטוט עם מעגל, ושלושה סוגי סעיפים:

הוכחה של זוויות שוות / ישרים מקבילים / קוטר
דמיון משולשים – ובעזרתו יחס צלעות
חישוב: יחס שטחים, אורך צלע (לפעמים עם משפט הקוסינוסים)

סעיף שמשתמש בסעיף קודם – מותר להשתמש בו גם אם לא הוכחתם אותו.

בגרות קיץ תשפ״ו מועד ב׳

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355712 / 12

בס״דגאומטרייה · מצגת הסבר

איך כותבים הוכחה: טענה | נימוק

מסמנים בסרטוט את כל הנתונים (זוויות, צלעות שוות, משיקים).
כל שורה: טענה אחת ונימוק אחד – משפט, הגדרה, „נתון” או „הוכח בסעיף…”.
שורה אחרונה = מה שביקשו להוכיח.

את הנימוקים כותבים כמשפט מלא, למשל: „זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו”.

טענה	נימוק
$∠ A C B = 6 0^{\circ}$	משולש שווה צלעות
$∠ A E B = ∠ A C B$	זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
$∠ A E B = 6 0^{\circ}$	מעבר

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355713 / 12

בס״דגאומטרייה · מצגת הסבר

משפטים במעגל שחוזרים בכל בחינה

זוויות

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות.
זווית מרכזית שווה לפעמיים זווית היקפית הנשענת על אותה קשת.
זווית היקפית הנשענת על קוטר היא $9 0^{\circ}$ (ולהפך: זווית היקפית ישרה ← נשענת על קוטר).

משיקים

רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.
שני משיקים ממקור אחד – קטעי המשיקים שווים.
הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני.

מרובע חסום

סכום זוויות נגדיות $18 0^{\circ}$ .
זווית חיצונית שווה לזווית הפנימית שמולה.

משולש שווה שוקיים

שני רדיוסים באותו מעגל ← משולש שווה שוקיים ← זוויות הבסיס שוות.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355714 / 12

בס״דגאומטרייה · מצגת הסבר

דמיון משולשים ויחסי שטחים

משפטי דמיון

ז.ז. – שתי זוויות שוות (הכי נפוץ בבחינה)

צ.ז.צ. – יחס שתי צלעות שווה והזווית שביניהן שווה

צ.צ.צ. – יחס שלוש הצלעות שווה

כותבים את המשולשים לפי סדר ההתאמה: $△ A E B \sim △ C E D$ ← $A \leftrightarrow C, E \leftrightarrow E, B \leftrightarrow D$

יחסים

יחס הדמיון $k$ = יחס צלעות מתאימות

יחס השטחים $= k^{2}$

משולשים עם אותו גובה – יחס השטחים = יחס הבסיסים.

תיכון מחלק משולש לשני משולשים שווי שטח.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355715 / 12

בס״דגאומטרייה · מצגת הסבר

מהנוסחאון – כשצריך לחשב

נוסחאון · משפט הקוסינוסים

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ

( $γ$ – הזווית הכלואה בין $a$ ל־ $b$ )

נוסחאון · משפט הסינוסים

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ} = 2 R

( $R$ – רדיוס המעגל החוסם)

נוסחאון · שטח משולש

S = \frac{1}{2} b c sin α

נוסחאון · מעגל

$P = 2 π R S = π R^{2}$

את משפטי הגאומטרייה (זוויות היקפיות, דמיון…) אין בנוסחאון – צריך לדעת אותם בעל פה.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355716 / 12

בס״דגאומטרייה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה (א)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 4

משולש שווה צלעות $A B C$ חסום במעגל. $D$ על המשך $B C$ , והקטע $A D$ חותך את המעגל ב־ $E$ . הוכיחו: $∠ A E B = ∠ B E C = ∠ C E D$

טענה	נימוק
כל זוויות $△ A B C$ הן $6 0^{\circ}$	משולש שווה צלעות
$∠ A E B = ∠ A C B = 6 0^{\circ}$	היקפיות על הקשת $A B$
$∠ B E C = ∠ B A C = 6 0^{\circ}$	היקפיות על הקשת $B C$
$∠ A E C = 12 0^{\circ}$	מרובע חסום $A B C E$ : זוויות נגדיות $18 0^{\circ}$
$∠ C E D = 6 0^{\circ}$	זוויות צמודות

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355717 / 12

בס״דגאומטרייה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה (ב, ג) – דמיון

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 4

הוכיחו: $△ A E B \sim △ C E D$

טענה	נימוק
$∠ A E B = ∠ C E D$	הוכח בסעיף א
$∠ B A E + ∠ B C E = 18 0^{\circ}$	מרובע חסום $A B C E$
$∠ E C D + ∠ B C E = 18 0^{\circ}$	זוויות צמודות
$∠ E C D = ∠ B A E$	משתי הטענות הקודמות
$△ A E B \sim △ C E D$	ז.ז.

הוכיחו: $\frac{A E}{C E} = \frac{B C}{C D}$

מהדמיון (יחס צלעות מתאימות):

\frac{A E}{C E} = \frac{A B}{C D}

ובמשולש שווה צלעות $A B = B C$ .

$A \leftrightarrow C E \leftrightarrow E B \leftrightarrow D$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355718 / 12

בס״דגאומטרייה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה (ד) – יחס שטחים

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 4

שטח $△ A E B$ גדול פי 2.25 משטח $△ C E D$ . פי כמה שטח $△ A B D$ גדול משטח $△ C E D$ ?

יחס השטחים = ריבוע יחס הדמיון:

(\frac{A B}{C D})^{2} = 2.25 \Rightarrow \frac{A B}{C D} = 1.5

נסמן $C D = 2 x$ , ולכן $A B = B C = A C = 3 x$ .

$∠ D$ משותפת ו־ $∠ D C E = ∠ D A B$ (סעיף ב), ולכן לפי ז.ז.:

△ D C E \sim △ D A B

במשולש $A C D$ הזווית $∠ A C D = 12 0^{\circ}$ . לפי משפט הקוסינוסים:

A D^{2} = 9 x^{2} + 4 x^{2} - 2 \cdot 3 x \cdot 2 x \cdot (- \frac{1}{2}) = 19 x^{2}

\frac{S _{A B D}}{S _{C E D}} = (\frac{A D}{C D})^{2} = \frac{19 x ^{2}}{4 x ^{2}} = 4.75

פי 4.75

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355719 / 12

בס״דגאומטרייה · מצגת הסבר

דוגמה נוספת: משיק, קוטר ותיכון

בגרות קיץ תשפ״ה (2025) – מועד א׳ · שאלה 4

מעגל קטן שמרכזו $O$ ורדיוסו $r$ , ומעגל גדול שעובר דרך $O$ . ‏ $A K$ משיק למעגל הקטן ב־ $A$ . ‏ $M$ אמצע $O K$ .

למה $M$ מרכז המעגל הגדול?

$∠ O A K = 9 0^{\circ}$ (רדיוס מאונך למשיק) ← זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר ← $O K$ קוטר ← אמצעו $M$ הוא המרכז.

נתון $R = 1.5 r$ . שטח $△ M E O$ הוא $S$ . הביעו את $S_{O K A}$ .

מהדמיון בסעיף ג ( $△ M O A \sim △ O E A$ ):

\frac{1.5 r}{r} = \frac{r}{E A} \Rightarrow E A = \frac{2 r}{3}, M E = \frac{5 r}{6}

למשולשים $M E O$ ו־ $M A O$ אותו גובה מ־ $O$ :

\frac{S _{M E O}}{S _{M A O}} = \frac{M E}{M A} = \frac{5}{9} \Rightarrow S_{M A O} = \frac{9}{5} S

$A M$ תיכון במשולש $O K A$ :

$S_{O K A} = 2 \cdot \frac{9}{5} S = 3.6 S$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557110 / 12

בס״דגאומטרייה · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

אין טענה בלי נימוק – גם „זוויות צמודות” ו„מעבר” הם נימוקים.
„נראה בסרטוט” אינו נימוק.
בדמיון – כותבים את סדר ההתאמה ובודקים שהצלעות ביחס הן באמת מתאימות.

יחס שטחים $= k^{2}$ – ולהפך: מיחס שטחים מוציאים שורש כדי לקבל $k$ .
משפט הקוסינוסים: $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ – הסימן משנה!
במרובע חסום: נגדיות משלימות ל־ $18 0^{\circ}$ , לא סמוכות.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557111 / 12

בס״דגאומטרייה · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

זווית מרכזית של $10 0^{\circ}$ . כמה מעלות הזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת?
במרובע חסום אחת הזוויות $7 0^{\circ}$ . מה הזווית שמולה?
שני משולשים דומים ביחס $2 : 3$ . מה יחס השטחים?
יחס השטחים של שני משולשים דומים הוא $2.25$ . מה יחס הדמיון?
לשני משולשים אותו גובה, והבסיסים 4 ו־10. מה יחס השטחים?
הזווית בין משיק למיתר היא $3 5^{\circ}$ . מה הזווית המרכזית הנשענת על המיתר?

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$5 0^{\circ}$
$11 0^{\circ}$
$4 : 9$
$2.25 = 1.5$
$4 : 10 = 2 : 5$
היקפית $3 5^{\circ}$ ← מרכזית $7 0^{\circ}$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557112 / 12

› לכל המצגות