מצגת הסבר – הסתברות

13 שקפים · עץ הסתברויות, הסתברות מותנית ונוסחת ברנולי

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

הסתברות

מצגת הסבר – עץ, הסתברות מותנית וברנולי

מתמטיקה 5 יח״לשאלון 35571תכנית חדשה

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355711 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

מה נלמד?

בבחינה זו שאלה 3. כמעט בכל מועד מופיעים שלושה כלים:

עץ הסתברויות – ניסוי בשלבים
הסתברות מותנית – „בהינתן ש…”, „ידוע ש…”
נוסחת ברנולי – אותו ניסוי חוזר $n$ פעמים

ולפעמים גם: מאורע משלים, מאורעות בלתי תלויים, משוואה עם פרמטר $p$ .

עץ מתוך בגרות קיץ תשפ״ו מועד ב׳

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355712 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

מושגים בסיסיים

מאורע משלים

$\overset{ˉ}{A}$ = „ $A$ לא קרה”.

P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)

שימושי מאוד ב„לפחות אחד”.

חיתוך $A \cap B$

שני המאורעות קרו יחד („וגם”).

מאורעות בלתי תלויים

קרות האחד לא משנה את ההסתברות של השני:

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

איחוד $A \cup B$

לפחות אחד מהם קרה („או”):

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355713 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

הנוסחאות מהנוסחאון

נוסחאון · הסתברות מותנית

P (A / B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

„ההסתברות ש־ $A$ קרה, בהינתן ש־ $B$ קרה”

נוסחאון · נוסחת ברנולי

ההסתברות ל־ $k$ הצלחות מתוך $n$ ניסיונות בהתפלגות בינומית, כאשר ההסתברות להצלחה היא $p$ :

P_{n} (k) = (k n) p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} (k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

שימו לב לסימון: בנוסחאון כותבים $P (A / B)$ – עם קו נטוי.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355714 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

עץ הסתברויות

כל שלב בניסוי = פיצול בעץ. על כל ענף כותבים את ההסתברות.
הענפים שיוצאים מאותה נקודה – סכומם 1.
הסתברות של מסלול = כפל ההסתברויות לאורכו.
כמה מסלולים מתאימים – מחברים אותם.

ההסתברות על ענף בשלב השני היא כבר מותנית: „לעבור את מבחן ב׳ בהינתן שעבר את מבחן א׳” = $2 p$ .

ההסתברות להתקבל (המסלול המודגש):

p \cdot 2 p \cdot r = 2 p^{2} r

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355715 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

הסתברות מותנית – שלב אחרי שלב

מגדירים מאורעות במילים: $A$ – …, $B$ – …
מזהים מה ידוע (זה $B$ , אחרי „בהינתן”) ומה מבוקש.
כותבים את הנוסחה: $P (A / B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$
מחשבים $P (B)$ ו־ $P (A \cap B)$ (עץ / ברנולי / טבלה).
מציבים ומחשבים.

בגרות קיץ תשפ״ד (2024) – מועד א׳ · שאלה 3

מבחן של 5 שאלות, $p = 0.7$ לתשובה נכונה. שאלה מספר $i$ שווה $i$ נקודות. ידוע שענתה נכון בדיוק על 3 שאלות. מה ההסתברות שצברה בדיוק 6 נקודות?

$A$ – צברה בדיוק 6 נקודות; $B$ – ענתה נכון על 3 שאלות בדיוק.

P (A / B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

$P (B) = (3 5) \cdot 0. 7^{3} \cdot 0. 3^{2} = 0.3087$

$A \cap B$ : רק השאלות $1, 2, 3$ נכונות: $0. 7^{3} \cdot 0. 3^{2} = 0.03087$

P (A / B) = \frac{0.03087}{0.3087} = 0.1

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355716 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

נוסחת ברנולי – מתי ואיך?

מתי?

אותו ניסוי חוזר $n$ פעמים
בכל פעם: הצלחה או כישלון
הסתברות ההצלחה $p$ זהה בכל ניסיון
הניסיונות בלתי תלויים
שואלים על מספר ההצלחות $k$ (לא על הסדר)

בגרות קיץ תשפ״ד (2024) – מועד א׳ · שאלה 3

5 שאלות, $p = 0.7$ . מה ההסתברות שתענה נכון על 3 בדיוק?

$n = 5, k = 3, p = 0.7$ :

P_{5} (3) = (3 5) \cdot 0. 7^{3} \cdot 0. 3^{2}

= 10 \cdot 0.343 \cdot 0.09 = 0.3087

„לפחות” – לרוב קצר יותר דרך המשלים: $P (\geq 2) = 1 - P_{n} (0) - P_{n} (1)$ . ‏„לכל היותר 4 מתוך 5” = $1 - P_{5} (5)$ .

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355717 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – בניית העץ (א)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 3

כדי להתקבל לעבודה צריך לעבור מבחן א׳, מבחן ב׳ וראיון. ההסתברות לעבור את מבחן ב׳ (למי שעבר את א׳) גדולה פי 2 מההסתברות לעבור את מבחן א׳. ההסתברות לעבור את כל השלבים גדולה פי 3 מההסתברות לעבור את שני המבחנים ולהיכשל בראיון. א. מה ההסתברות לעבור את הראיון, למי שעבר את שני המבחנים?

$p$ – לעבור את מבחן א׳, $2 p$ – את מבחן ב׳, $r$ – את הראיון.

2 p^{2} r = 3 \cdot 2 p^{2} (1 - r)

r = 3 - 3 r \Rightarrow 4 r = 3

$r = 0.75$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355718 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה (ב, ג)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 3

ידוע שההסתברות להתקבל היא 0.06. מצאו את $p$ .

p \cdot 2 p \cdot 0.75 = 1.5 p^{2} = 0.06

p^{2} = 0.04 \Rightarrow p = 0.2

( $p$ הסתברות, ולכן חיובית.)

מועמד לא התקבל. מה ההסתברות שעבר את מבחן א׳?

$A$ – עבר את מבחן א׳; $N$ – לא התקבל לעבודה.

P (A / N) = \frac{P ( A \cap N )}{P ( N )}

$P (N) = 1 - 0.06 = 0.94$

$P (A \cap N) = 0.2 - 0.06 = 0.14$

P (A / N) = \frac{0.14}{0.94} = \frac{7}{47}

בערך $0.149$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355719 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה (ד) – ברנולי

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 3

נבחרו באקראי 5 מועמדים שלא התקבלו. מה ההסתברות שלפחות 2 מהם עברו את מבחן א׳?

לכל מועמד, בלי תלות באחרים: הצלחה = עבר את מבחן א׳, $p = \frac{7}{47}$ (מסעיף ג). ‏ $n = 5$ .

P_{5} (0) = (\frac{40}{47})^{5} \approx 0.4465

P_{5} (1) = (1 5) \cdot \frac{7}{47} \cdot (\frac{40}{47})^{4} \approx 0.3907

P (\geq 2) = 1 - P_{5} (0) - P_{5} (1) \approx 0.163

בערך $0.163$

למה ברנולי?

5 ניסיונות זהים ובלתי תלויים, בכל אחד „עבר א׳” או „לא”, ושואלים כמה עברו.

למה משלים?

„לפחות 2” = 2, 3, 4 או 5 – ארבעה חישובים. המשלים (0 או 1) – רק שניים.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557110 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

דוגמה נוספת: משלים ופרמטר

בגרות קיץ תשפ״ד (2024) – מועד א׳ · שאלה 3

ההסתברות שתענה נכון על 4 שאלות לכל היותר (מתוך 5) היא 0.83193. מצאו את $P$ – ההסתברות לענות נכון על שאלה.

המשלים של „לכל היותר 4” הוא „כל 5 נכונות”:

1 - P^{5} = 0.83193

P^{5} = 0.16807 \Rightarrow P = 5 0.16807 = 0.7

שאלה $i$ שווה $i$ נקודות. מה ההסתברות לצבור לפחות 14 נקודות?

המקסימום $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ . ‏15 – הכול נכון; 14 – הכול חוץ משאלה 1:

0. 7^{5} + 0.3 \cdot 0. 7^{4}

= 0.16807 + 0.07203 = 0.2401

כאן הסדר חשוב (איזו שאלה) – לכן לא ברנולי אלא כפל ישיר.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557111 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

„בהינתן” = הסתברות מותנית. מגדירים מאורעות וכותבים את הנוסחה.
במכנה – המאורע הידוע: $P (A / B)$ ← מחלקים ב־ $P (B)$ .
על ענף בשלב השני רושמים הסתברות מותנית.

ברנולי רק כשהסדר לא חשוב. כשמבקשים סדר מסוים – כפל ישיר, בלי $(k n)$ .
„לפחות אחד” ← $1 - P_{n} (0)$ .
פתרון של משוואה ב־ $p$ : הסתברות היא בין 0 ל־1 – פוסלים פתרון שלילי.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557112 / 13

בס״דהסתברות · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

שחקן קולע זריקת עונשין בהסתברות 0.8, בלי תלות בין הזריקות. הוא זורק 4 זריקות.

מה ההסתברות שיקלע בדיוק 3 פעמים?
מה ההסתברות שיחטיא לפחות פעם אחת?
ידוע שקלע בדיוק 3 פעמים. מה ההסתברות שההחטאה הייתה בזריקה הראשונה?

30% מהתלמידים מגיעים באוטובוס. מהם 10% מאחרים, ומהשאר 5% מאחרים.

מה ההסתברות שתלמיד מאחר?
תלמיד איחר. מה ההסתברות שהגיע באוטובוס?

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$(3 4) \cdot 0. 8^{3} \cdot 0.2 =$ 0.4096
$1 - 0. 8^{4} =$ 0.5904
$A$ – החטיא בראשונה, $B$ – קלע בדיוק 3.
$P (A / B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} = \frac{0.2 \cdot 0. 8 ^{3}}{0.4096} =$ 0.25
$0.3 \cdot 0.1 + 0.7 \cdot 0.05 =$ 0.065
$A$ – באוטובוס, $B$ – איחר.
$P (A / B) = \frac{0.03}{0.065} = \frac{6}{13} \approx$ 0.462

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557113 / 13

› לכל המצגות

מצגת הסבר – הסתברות

הסתברות

מה נלמד?

מושגים בסיסיים

מאורע משלים

חיתוך A∩B

מאורעות בלתי תלויים

איחוד A∪B

הנוסחאות מהנוסחאון

עץ הסתברויות

הסתברות מותנית – שלב אחרי שלב

נוסחת ברנולי – מתי ואיך?

מתי?

שאלת בגרות פתורה – בניית העץ (א)

שאלת בגרות פתורה (ב, ג)

שאלת בגרות פתורה (ד) – ברנולי

למה ברנולי?

למה משלים?

דוגמה נוספת: משלים ופרמטר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בדיקה עצמית

חיתוך $A \cap B$

איחוד $A \cup B$