מצגת הסבר – טריגונומטרייה במישור

11 שקפים · משולש ישר זווית, משפט הסינוסים והקוסינוסים, שטח ומציאת זווית

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דטריגונומטרייה במישור · מצגת הסבר

טריגונומטרייה במישור

מצגת הסבר – משפט הסינוסים, משפט הקוסינוסים ושטח משולש

מתמטיקה 5 יח״לשאלון 35571תכנית חדשה

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355711 / 11

בס״דטריגונומטרייה במישור · מצגת הסבר

מה נלמד?

בבחינה זו שאלה 5. בדרך כלל נתון סרטוט עם פרמטר ( $k$ , ‏ $α$ ), ובשאלה:

להביע צלעות בעזרת $k$ ו־ $α$
להשתמש בנתון (שטח, רדיוס) כדי למצוא את הזווית
למצוא את $k$ או צלע / רדיוס נוסף

הכלים: משולש ישר זווית, משפט הסינוסים, משפט הקוסינוסים, נוסחת השטח.

בגרות קיץ תשפ״ו מועד ב׳

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355712 / 11

בס״דטריגונומטרייה במישור · מצגת הסבר

משולש ישר זווית

יחס	במילים
$sin α$	ניצב מול הזווית ÷ יתר
$cos α$	ניצב ליד הזווית ÷ יתר
$tan α$	ניצב מול ÷ ניצב ליד

„הביעו באמצעות $k$ ו־ $α$ ” ← מחפשים משולש ישר זווית שבו הצלע ידועה.

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 5

$E C = k$ , ‏ $B E = 3 k$ , ובמשולש שווה שוקיים $∠ B = ∠ C = α$ .

במשולש $E D C$ (ישר זווית ב־ $D$ ):

sin α = \frac{D E}{E C} \Rightarrow D E = k sin α

במשולש $E M B$ (ישר זווית ב־ $M$ ):

sin α = \frac{M E}{B E} \Rightarrow M E = 3 k sin α

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355713 / 11

בס״דטריגונומטרייה במישור · מצגת הסבר

הנוסחאות מהנוסחאון

משפט הסינוסים

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ} = 2 R

$R$ – רדיוס המעגל החוסם את המשולש

משפט הקוסינוסים

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ

$γ$ – הזווית הכלואה בין $a$ ל־ $b$

שטח משולש

S = \frac{1}{2} b c sin α

$α$ – הזווית הכלואה בין $b$ ל־ $c$

S = \frac{a ^{2} sin β sin γ}{2 sin ( β + γ )}

$β, γ$ – הזוויות ליד הצלע $a$

זהויות שימושיות

sin (π - α) = sin α

sin 2 α = 2 sin α cos α

cos (π - α) = - cos α

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355714 / 11

בס״דטריגונומטרייה במישור · מצגת הסבר

איזה משפט מתאים?

מה ידוע במשולש	מה מחפשים	הכלי
צלע ושתי זוויות	צלע אחרת	משפט הסינוסים
צלע והזווית שמולה	רדיוס המעגל החוסם $R$	משפט הסינוסים ( $= 2 R$ )
שתי צלעות והזווית שביניהן	הצלע השלישית	משפט הקוסינוסים
שלוש צלעות	זווית	משפט הקוסינוסים
שתי צלעות והזווית שביניהן	שטח	$S = \frac{1}{2} b c sin α$

זווית היקפית של $9 0^{\circ}$ ← הצלע שמולה היא קוטר, כלומר $2 R$ .

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355715 / 11

בס״דטריגונומטרייה במישור · מצגת הסבר

מציאת זווית: פתרון אחד או שניים?

$sin x = c$ ( $0 < c < 1$ )

בתוך משולש יש שני פתרונות:

x_{1} = sin^{- 1} c, x_{2} = 18 0^{\circ} - x_{1}

בוחרים לפי הנתונים: סכום זוויות, „ $α$ חדה”, „ $α > 3 0^{\circ}$ ”, צלע גדולה מול זווית גדולה…

$cos x = c$

בין $0^{\circ}$ ל־ $18 0^{\circ}$ יש פתרון אחד בלבד.

( $cos x < 0$ ← הזווית קהה)

$sin 2 α = c$

פותרים קודם את $2 α$ (שני פתרונות בין $0^{\circ}$ ל־ $18 0^{\circ}$ ), ורק אז מחלקים ב־2.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355716 / 11

בס״דטריגונומטרייה במישור · מצגת הסבר

משפט הסינוסים עם פרמטרים

בגרות קיץ תשפ״ד (2024) – מועד א׳ · שאלה 5

במשולש $A B P$ : ‏ $A B = k$ , ‏ $∠ B A P = α$ , ‏ $∠ A B P = β$ . הביעו את $A P$ ואת $B P$ .

∠ A P B = 18 0^{\circ} - α - β

\frac{A P}{sin β} = \frac{B P}{sin α} = \frac{k}{sin ( 18 0 ^{\circ} - α - β )}

ולפי הזהות $sin (18 0^{\circ} - x) = sin x$ :

A P = \frac{k sin β}{sin ( α + β )} B P = \frac{k sin α}{sin ( α + β )}

הטריק

הזווית השלישית היא $18 0^{\circ} - α - β$ , והסינוס שלה הוא $sin (α + β)$ – כך התשובה יוצאת נקייה.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355717 / 11

בס״דטריגונומטרייה במישור · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה (ב) – מציאת הזווית

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 5

סכום השטחים של $△ E D C$ ו־ $△ E M B$ הוא $1.6 k^{2}$ , ונתון $α > 3 0^{\circ}$ . מצאו את $α$ .

הניצבים האחרים: $D C = k cos α$ , ‏ $B M = 3 k cos α$

\frac{k ^{2} sin α cos α}{2} + \frac{9 k ^{2} sin α cos α}{2} = 1.6 k^{2}

5 k^{2} sin α cos α = 1.6 k^{2}

לפי $2 sin α cos α = sin 2 α$ :

2.5 sin 2 α = 1.6 \Rightarrow sin 2 α = 0.64

2 α_{1} = 39.7 9^{\circ} 2 α_{2} = 140.2 1^{\circ}

כלומר $19.9 0^{\circ}$ או $70.1 0^{\circ}$ , ונתון $α > 3 0^{\circ}$ :

$α \approx 70.1 0^{\circ}$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355718 / 11

בס״דטריגונומטרייה במישור · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה (ג) – רדיוס ו־ $k$

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 5

רדיוס המעגל החוסם את $△ A E D$ הוא 29. מצאו את $k$ .

במשולש $A E D$ הזווית $∠ A D E = 9 0^{\circ}$ . לפי משפט הסינוסים:

\frac{A E}{sin 9 0 ^{\circ}} = 2 R \Rightarrow A E = 58

הגובה $A H$ בבסיס הוא גם תיכון, ולכן $H C = 2 k$ :

A C = \frac{2 k}{cos α}

במשולש $A E C$ , לפי משפט הקוסינוסים:

A E^{2} = \frac{4 k ^{2}}{cos ^{2} α} + k^{2} - 2 \cdot \frac{2 k}{cos α} \cdot k cos α = k^{2} (\frac{4}{cos ^{2} α} - 3)

k^{2} \cdot 31.54 \approx 3364 \Rightarrow k^{2} \approx 106.7

$k \approx 10.33$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355719 / 11

בס״דטריגונומטרייה במישור · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

מחשבון במעלות (DEG) – לא ברדיאנים.
$sin x = c$ ← שני פתרונות במשולש. בודקים איזה מתאים.
במשפט הקוסינוסים – הזווית הכלואה בין שתי הצלעות.

$2 R$ – קוטר. אם שואלים על רדיוס, מחלקים ב־2.
לא מעגלים באמצע: שומרים 4 ספרות אחרי הנקודה עד הסוף.
$k$ הוא אורך ← רק הפתרון החיובי.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557110 / 11

בס״דטריגונומטרייה במישור · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

במשולש $a = 7$ , ‏ $b = 8$ , והזווית שביניהן $6 0^{\circ}$ . מצאו את הצלע השלישית.
מה שטח המשולש מסעיף 1?
במשולש צלע באורך 10 והזווית שמולה $3 0^{\circ}$ . מה רדיוס המעגל החוסם?
במשולש $sin β = 0.5$ . מהן האפשרויות ל־ $β$ ?
במשולש $cos γ = - 0.5$ . מהי $γ$ ?

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$c^{2} = 49 + 64 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 57$
$c \approx 7.55$
$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot sin 6 0^{\circ} \approx 24.25$
$\frac{10}{s i n 3 0 ^{\circ}} = 20 = 2 R$ ← $R = 10$
$3 0^{\circ}$ או $15 0^{\circ}$
$12 0^{\circ}$ (פתרון אחד)

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557111 / 11

› לכל המצגות

מצגת הסבר – טריגונומטרייה במישור

טריגונומטרייה במישור

מה נלמד?

משולש ישר זווית

הנוסחאות מהנוסחאון

איזה משפט מתאים?

מציאת זווית: פתרון אחד או שניים?

sinx=c (0<c<1)

cosx=c

sin2α=c

משפט הסינוסים עם פרמטרים

הטריק

שאלת בגרות פתורה (ב) – מציאת הזווית

שאלת בגרות פתורה (ג) – רדיוס ו־k

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בדיקה עצמית

$sin x = c$ ( $0 < c < 1$ )

$cos x = c$

$sin 2 α = c$

שאלת בגרות פתורה (ג) – רדיוס ו־ $k$