מצגות הסבר › חדו״א – פולינום, רציונלית ושורש

מצגת הסבר – חדו״א – פולינום, רציונלית ושורש

14 שקפים · חקירת פונקציה עם פרמטר, שטח בעזרת קדומה ובעיות קיצון

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דחדו״א – פולינום, רציונלית ושורש · מצגת הסבר

חדו״א – פולינום, רציונלית ושורש

מצגת הסבר – חקירת פונקציה, שטח ובעיות קיצון

מתמטיקה 5 יח״לשאלון 35571תכנית חדשה

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355711 / 14

בס״דחדו״א – פולינום, רציונלית ושורש · מצגת הסבר

מה נלמד?

בבחינה זו שאלות 6–8 (שאלה 7 לפעמים טריגונומטרית – יש לה מצגת נפרדת):

חקירת פונקציה רציונלית או עם שורש, לרוב עם פרמטר
שטח בעזרת פונקציה קדומה (אינטגרל)
בעיית קיצון: מה ה־ $t$ שבו שטח / אורך / סכום מקסימלי או מינימלי
קריאת גרף של $f^{'}$ (או $f^{''}$ ) והסקה על $f$

בגרות קיץ תשפ״ו מועד ב׳, שאלה 6

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355712 / 14

בס״דחדו״א – פולינום, רציונלית ושורש · מצגת הסבר

שלבי החקירה

תחום הגדרה – מכנה $\neq = 0$ , ביטוי בתוך שורש $\geq 0$ .
נקודות חיתוך עם הצירים: מציבים $x = 0$ , ואחר כך $y = 0$ .
אסימפטוטות – אנכיות ואופקיות.
נגזרת ← $f^{'} (x) = 0$ ← טבלת סימנים ← תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון.
(כשמבקשים) נגזרת שנייה ← נקודות פיתול.
סקיצה – לפי כל מה שמצאנו.

עם פרמטר

עונים „בעזרת $a$ ” עד שנותנים נתון נוסף (למשל „שיעור ה־ $y$ של המקסימום הוא 7.5”), ואז מוצאים את $a$ ומציבים.

שימו לב לנתון על הסימן, למשל $a > 0$ – הוא קובע את סדר הנקודות בטבלה.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355713 / 14

בס״דחדו״א – פולינום, רציונלית ושורש · מצגת הסבר

מהנוסחאון: נגזרות

נגזרות בסיסיות

(x^{t})^{'} = t \cdot x^{t - 1} (t ממשי)

(x)^{'} = \frac{1}{2 x} (\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}

נגזרת של מכפלת פונקציות

[f (x) \cdot g (x)]^{'} = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x)

נגזרת של מנת פונקציות

[\frac{f ( x )}{g ( x )}]^{'} = \frac{f ^{'} ( x ) \cdot g ( x ) - f ( x ) \cdot g ^{'} ( x )}{[ g ( x ) ] ^{2}}

נגזרת של פונקצייה מורכבת

[f (u (x))]^{'} = f^{'} (u) \cdot u^{'} (x)

$u^{'} (x)$ – נגזרת פנימית, ‏ $f^{'} (u)$ – נגזרת חיצונית

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355714 / 14

בס״דחדו״א – פולינום, רציונלית ושורש · מצגת הסבר

מהנוסחאון: אינטגרלים

אינטגרלים בסיסיים

\int x^{t} d x = \frac{x ^{t + 1}}{t + 1} + C (t \neq = - 1)

\int \frac{1}{x} d x = 2 x + C

אם

F

קדומה של

f

\int f (m x + b) d x = \frac{1}{m} F (m x + b) + C

\int f [u (x)] \cdot u^{'} (x) d x = F [u (x)] + C

שטח

שטח בין גרף אי־שלילי לציר ה־ $x$ : $S = \int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$

שטח בין שני גרפים, כאשר גרף $f$ מעל גרף $g$ : $S = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355715 / 14

בס״דחדו״א – פולינום, רציונלית ושורש · מצגת הסבר

תחום הגדרה ואסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית

ב־ $x$ שבו המכנה מתאפס (והמונה לא).

אסימפטוטה אופקית ( $x \to \pm \infty$ )

מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה ← $y = 0$

המעלות שוות ← $y =$ יחס המקדמים המובילים

מעלת המונה גדולה ← אין אסימפטוטה אופקית

עם שורש – בודקים בנפרד $x \to \infty$ ו־ $x \to - \infty$ .

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 6

$f (x) = \frac{6 ( x - 1 ) ^{2}}{x ^{2} + a}$ כאשר $a > 0$

תחום: $x^{2} + a > 0$ תמיד ← כל $x$ .

אנכית: אין – המכנה לא מתאפס.

אופקית: המונה $6 x^{2} - 12 x + 6$ , המעלות שוות:

x \to \pm \infty lim \frac{6 x ^{2} - 12 x + 6}{x ^{2} + a} = 6

$y = 6$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355716 / 14

בס״דחדו״א – פולינום, רציונלית ושורש · מצגת הסבר

נקודות קיצון: נגזרת וטבלת סימנים

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 6

נגזרת המנה; מונה הנגזרת:

12 (x - 1) (x^{2} + a) - 6 (x - 1)^{2} \cdot 2 x

= 12 (x - 1) [x^{2} + a - x (x - 1)] = 12 (x - 1) (x + a)

f^{'} (x) = \frac{12 ( x - 1 ) ( x + a )}{( x ^{2} + a ) ^{2}} = 0 \Rightarrow x = 1, x = - a

f (1) = 0 f (- a) = \frac{6 ( a + 1 )}{a}

$x$	$f^{'}$	$f$
$x < - a$	+	עולה
$x = - a$	0	מקסימום
$- a < x < 1$	−	יורדת
$x = 1$	0	מינימום
$x > 1$	+	עולה

המכנה של $f^{'}$ חיובי תמיד. כי $a > 0$ , הנקודה $- a$ משמאל ל־1.

מקסימום $(- a, \frac{6 ( a + 1 )}{a})$ , מינימום $(1, 0)$

ג. המקסימום ב־ $y = 7.5$ :

\frac{6 ( a + 1 )}{a} = 7.5 \Rightarrow 1.5 a = 6 \Rightarrow a = 4

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355717 / 14

בס״דחדו״א – פולינום, רציונלית ושורש · מצגת הסבר

סקיצה (ד)

עבור $a = 4$ : $f (x) = \frac{6 ( x - 1 ) ^{2}}{x ^{2} + 4}$

מקסימום $(- 4, 7.5)$ , מינימום $(1, 0)$ – הגרף משיק לציר ה־ $x$
חיתוך עם ציר ה־ $y$ : $f (0) = 1.5$
אסימפטוטה $y = 6$ , והגרף חותך אותה ב־ $x = - 1.5$
$f (x) \geq 0$ לכל $x$

חיתוך עם האסימפטוטה: $6 (x - 1)^{2} = 6 (x^{2} + 4)$ ← $x = - 1.5$ . משמאל הגרף מתקרב ל־6 מלמעלה, ומימין – מלמטה.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355718 / 14

בס״דחדו״א – פולינום, רציונלית ושורש · מצגת הסבר

שטח בעזרת פונקציה קדומה (ה)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 6

$g (x) = \frac{- f ^{'} ( x )}{( f ( x ) ) ^{2}}$ . חשבו את השטח בין גרף $g$ לציר ה־ $x$ בתחום $- 4 \leq x \leq 0$ .

„רואים” נגזרת של מנה: $(\frac{1}{f ( x )})^{'} = \frac{- f ^{'} ( x )}{f ^{2} ( x )} = g (x)$

כלומר $\frac{1}{f ( x )}$ פונקציה קדומה של $g$ . הסימן של $g$ הפוך לסימן של $f^{'}$ , ולכן בתחום הזה $g > 0$ :

S = \int_{- 4}^{0} g (x) d x = [\frac{1}{f ( x )}]_{- 4}^{0}

= \frac{1}{1.5} - \frac{1}{7.5} = \frac{2}{3} - \frac{2}{15} = \frac{8}{15}

$\frac{8}{15}$ יחידות שטח

כשהאינטגרל נראה קשה

מחפשים ביטוי שהוא נגזרת של משהו שכבר יש בשאלה: $\frac{- f ^{'}}{f ^{2}}$ , ‏ $\frac{u ^{'}}{2 u}$ , ‏ $u^{'} \cdot u^{n}$ …

ואז לפי הנוסחאון: $\int f [u (x)] u^{'} (x) d x = F [u (x)] + C$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355719 / 14

בס״דחדו״א – פולינום, רציונלית ושורש · מצגת הסבר

מגרף $f^{'}$ אל $f$

בגרף של $f^{'}$	המשמעות ל־ $f$
מעל ציר ה־ $x$ ( $f^{'} > 0$ )	$f$ עולה
מתחת לציר ( $f^{'} < 0$ )	$f$ יורדת
חותך את הציר ומחליף סימן	נקודת קיצון של $f$
משיק לציר בלי להחליף סימן	פיתול עם משיק אופקי
נקודת קיצון של $f^{'}$	נקודת פיתול של $f$

שטח מתחת לגרף של $f^{'}$

$f$ היא פונקציה קדומה של $f^{'}$ , ולכן:

\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = f (b) - f (a)

כך מוצאים שינוי בגובה של $f$ מתוך שטח בגרף הנגזרת – שאלה שחוזרת בשאלה 1.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557110 / 14

בס״דחדו״א – פולינום, רציונלית ושורש · מצגת הסבר

בעיית קיצון – שלב אחרי שלב

כותבים את שיעורי הנקודות בעזרת $t$ (נקודה על גרף: $(t, f (t))$ ).
מבטאים את הגודל המבוקש (אורך, שטח, סכום) כפונקציה של $t$ .
קובעים את התחום של $t$ .
גוזרים, משווים ל־0.
טבלת סימנים ← מקסימום או מינימום.
עונים על השאלה ( $t$ , הנקודה, או הערך המקסימלי).

קטע מקביל לציר

מקביל לציר ה־ $x$ : לשתי הנקודות אותו $y$ . האורך = ה־ $x$ של הימנית פחות ה־ $x$ של השמאלית.

מקביל לציר ה־ $y$ : אותו $x$ . האורך = ה־ $y$ של העליונה פחות ה־ $y$ של התחתונה.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557111 / 14

בס״דחדו״א – פולינום, רציונלית ושורש · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – בעיית קיצון

בגרות קיץ תשפ״ב (2022) – מועד א׳ · שאלה 8

נתונות הפונקציות $f (x) = x^{3}$ ו־ $g (x) = x^{3}$ . הנקודה $A$ על גרף $f$ , ושיעור ה־ $x$ שלה הוא $t$ (כאשר $0 < t < 1$ ). הנקודה $B$ על גרף $g$ , ו־ $A B$ מקביל לציר ה־ $x$ . מצאו את השטח המקסימלי של המשולש $O A B$ .

ב. הנקודה $A (t, t^{3})$ . ל־ $B$ אותו שיעור $y$ :

x^{3} = t^{3} \Rightarrow x^{3} = t^{6} \Rightarrow x = t^{2}

כי $t^{2} < t$ , האורך הוא $A B = t - t^{2}$

ג. הגובה מ־ $O$ ל־ $A B$ הוא $t^{3}$ :

S (t) = \frac{1}{2} (t - t^{2}) t^{3} = \frac{t ^{4} - t ^{5}}{2}

S^{'} (t) = \frac{t ^{3} ( 4 - 5 t )}{2} = 0 \Rightarrow t = \frac{4}{5}

משמאל ל־ $\frac{4}{5}$ ‏ $S^{'} > 0$ , ומימין $S^{'} < 0$ ← מקסימום.

S (\frac{4}{5}) = \frac{128}{3125} = 0.04096

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557112 / 14

בס״דחדו״א – פולינום, רציונלית ושורש · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בנגזרת מנה: מונה הנגזרת – „נגזרת העליון כפול התחתון פחות…”. כדאי להוציא גורם משותף.
בשורש – לא לשכוח נגזרת פנימית.
טבלת סימנים כוללת גם נקודות שבהן $f$ לא מוגדרת.

שטח מתחת לציר יוצא שלילי באינטגרל – מחלקים לקטעים.
אחרי העלאה בריבוע – בודקים את הפתרונות במשוואה המקורית.
בבעיית קיצון – מוכיחים שזה מקסימום (טבלה), ובודקים את תחום $t$ .

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557113 / 14

בס״דחדו״א – פולינום, רציונלית ושורש · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

$f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}$

מצאו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטה האנכית.
האם יש אסימפטוטה אופקית?
מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.

חשבו את השטח בין הגרף של $y = x$ , ציר ה־ $x$ והישר $x = 4$ .
מצאו את הנגזרת של $y = x^{2} + 5$ .

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$x \neq = 1$ ; אסימפטוטה $x = 1$
לא – מעלת המונה גדולה ממעלת המכנה
$f^{'} (x) = \frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{2}}$
מקסימום $(0, 0)$ , מינימום $(2, 4)$
$\int_{0}^{4} x d x = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$
$\frac{x}{x ^{2} + 5}$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557114 / 14

› לכל המצגות

מצגת הסבר – חדו״א – פולינום, רציונלית ושורש

חדו״א – פולינום, רציונלית ושורש

מה נלמד?

שלבי החקירה

עם פרמטר

מהנוסחאון: נגזרות

מהנוסחאון: אינטגרלים

שטח

תחום הגדרה ואסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית

אסימפטוטה אופקית (x→±∞)

נקודות קיצון: נגזרת וטבלת סימנים

סקיצה (ד)

שטח בעזרת פונקציה קדומה (ה)

כשהאינטגרל נראה קשה

מגרף f′ אל f

שטח מתחת לגרף של f′

בעיית קיצון – שלב אחרי שלב

קטע מקביל לציר

שאלת בגרות פתורה – בעיית קיצון

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בדיקה עצמית

אסימפטוטה אופקית ( $x \to \pm \infty$ )

מגרף $f^{'}$ אל $f$

שטח מתחת לגרף של $f^{'}$