חדו״א – פולינום, רציונלית ושורש

נבדוק מתי המכנה מתאפס. לכל $x$ מתקיים $x^2\ge 0$, ונתון $a>0$, ולכן:

המכנה אף פעם אינו מתאפס, והפונקציה מוגדרת לכל $x$.

תשובה: כל $x$.

אסימפטוטה אנכית: אין, כי המכנה אינו מתאפס.

אסימפטוטה אופקית: נפתח את המונה: $6(x-1{)}^2=6x^2-12x+6$. המעלות במונה ובמכנה שוות (2), ולכן:

תשובה: $y=6$ (אין אסימפטוטה אנכית).

נגזור לפי נגזרת המנה. המונה של $f^{\prime }(x)$:

נוציא גורם משותף $12(x-1)$:

$a>0$, ולכן $-a<1$. טבלת סימנים (המכנה חיובי תמיד):

תשובה: מקסימום $(-a,\frac{6(a+1)}{a})$, מינימום $(1,0)$.

שיעור ה־$y$ של נקודת המקסימום הוא $7.5$:

תשובה: $a=4$

עבור $a=4$:

• מקסימום: $(-4,7.5)$.
• מינימום: $(1,0)$ — שם הגרף משיק לציר ה־$x$.
• חיתוך עם ציר ה־$y$: $(0,1.5)$, כי $f(0)=\frac{6}{4}=1.5$.
• אסימפטוטה אופקית: $y=6$.
• הפונקציה אינה שלילית בשום מקום.

הגרף חותך את האסימפטוטה:

לכן משמאל הגרף מתקרב ל־$y=6$ מלמעלה, ומימין — מלמטה.

תשובה: מקסימום $(-4,7.5)$, מינימום $(1,0)$, חיתוך עם ציר ה־$y$ ב־$(0,1.5)$, אסימפטוטה $y=6$.

הנגזרת $f^{\prime }(x)$ מוגדרת לכל $x$, כי המכנה שלה $(x^2+4{)}^2$ חיובי תמיד. לכן צריך רק שהמכנה של $g$, כלומר $f^2(x)$, לא יתאפס:

תשובה: כל $x$ פרט ל־$x=1$.

בתחום ההגדרה $f^2(x)>0$, ולכן הסימן של $g(x)=\frac{-f^{\prime }(x)}{f^2(x)}$ הפוך לסימן של $f^{\prime }(x)$. לפי טבלת הסימנים מסעיף ב (עם $a=4$):

תשובה: חיובית: $-4<x<1$
שלילית: $x<-4$ או $x>1$

נשים לב ש־$g$ היא הנגזרת של $\frac{1}{f(x)}$:

לכן $\frac{1}{f(x)}$ היא פונקציה קדומה של $g$. בין $x=-4$ ל־$x=0$ הפונקציה $g$ אינה שלילית (סעיף ה (2)), ולכן:

תשובה: $\frac{8}{15}$ יחידות שטח.

הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה, ולכן שיעוריה:

הנקודה $B$ נמצאת על הישר $y=3x+b$ ובאותו גובה כמו $A$:

תשובה: $x_B=\frac{(4t-2{)}^3-b}{3}$

$AB$ מקביל לציר ה־$x$ ו־$A$ מימין ל־$B$, ולכן:

נגזור לפי $t$ ($b$ קבוע):

השוואה ל־0:

נשווה את שתי נקודות המינימום (בלי $\frac{b}{3}$, שמשותף לכולן):

$\frac{5}{12}\approx 0.417$ קטן מ־$0.529$, ולכן המינימום בתחום מתקבל ב־$t=\frac{3}{8}$.

תשובה: $t=\frac{3}{8}=0.375$

נשווה את שתי נקודות המקסימום מטבלת סעיף ב (1) (שוב בלי $\frac{b}{3}$):

$\frac{8}{3}$ גדול מ־$\frac{7}{12}$, ולכן המקסימום בתחום מתקבל בקצה $t=0$.

תשובה: $t=0$

אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס ב־$x=3$, והמונה שם $3a\ne 0$ ‏(‏כי $a>0$‏)‏, ולכן $x=3$ היא אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטה אופקית: מעלת המונה ‏(‏1‏)‏ קטנה ממעלת המכנה ‏(‏2‏)‏, ולכן כאשר $x\to \pm \infty$: $f(x)\to 0$. האסימפטוטה האופקית היא $y=0$.

תשובה: אסימפטוטות: $x=3,y=0$

נגזור לפי כלל המנה:

נצמצם ב־$(x-3)$:

$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=-3$, ו:

תשובה: מינימום בנקודה $\left(-3,-\frac{a}{12}\right)$

נאסוף את הנתונים: אסימפטוטות $x=3,y=0$; מינימום $(-3,-\frac{a}{12})$; חיתוך עם הצירים רק בראשית $(0,0)$; יורדת ב־$x<-3$ וב־$x>3$, עולה ב־$-3<x<3$. כאשר $x\to 3$ משני הצדדים $f(x)\to +\infty$ ‏(‏המונה חיובי והמכנה ריבוע‏)‏.

תשובה: סקיצה: עוברת בראשית, מינימום בנקודה $(-3,-\frac{a}{12})$, אסימפטוטות $x=3,y=0$.

$g(x)=0⟺f(x)=-0.5$, כלומר צריך שלישר $y=-0.5$ תהיה נקודה משותפת אחת בדיוק עם גרף $f$.

• עבור $x>3$: $f(x)>0$, ולכן אין שם פתרון.
• עבור $x<3$: כאשר $x$ שואף למינוס אינסוף, $f$ שואפת ל־0. משם $f$ יורדת עד המינימום $-\frac{a}{12}$, ואחר כך עולה לפלוס אינסוף. לכן לישר $y=-0.5$ יש נקודה משותפת אחת בדיוק רק אם הוא עובר דרך נקודת המינימום. אם הוא נמוך יותר – אין נקודות משותפות, ואם גבוה יותר – יש שתיים.

תשובה: $a=6$

עם $a=6$:

לכן $g(x)\ge 0$ לכל $x\ne 3$, ו־$g(x)=0$ רק ב־$x=-3$.

$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)$, ולכן לפי הטבלה בסעיף א: $g^{\prime }>0$ בקטע $-3<x<3$, ו־$g^{\prime }<0$ כאשר $x<-3$ או $x>3$.

$h(x)=g(x)\cdot g^{\prime }(x)$, ו־$g(x)>0$ לכל $x\ne -3$, ולכן הסימן של $h$ הוא הסימן של $g^{\prime }$. בצורה מפורשת:

תשובה: חיוביות: $-3<x<3$; שליליות: $x<-3$ או $x>3$.

$h(x)=g(x)\cdot g^{\prime }(x)$, ולכן פונקציה קדומה של $h$ היא:

‏(‏כי ${\left(\frac{g^2}{2}\right)}^{\prime }=g\cdot g^{\prime }$.‏)‏ נחשב ערכים של $g$:

בקטע $-9\le x\le -3$ מתקיים $h\le 0$ ‏(‏השטח מתחת לציר‏)‏, ובקטע $-3\le x\le 0$ מתקיים $h\ge 0$. לכן נחשב שני אינטגרלים:

השטח ‏(‏סכום הערכים המוחלטים‏)‏:

תשובה: השטח: $\frac{17}{128}\approx 0.133$

ביטוי בתוך שורש ריבועי חייב להיות אי־שלילי:

או

תשובה: תחום: $x\le -1$ או $x\ge 1$

נשווה:

אגף שמאל אי־שלילי, ולכן צריך גם $3x-3\ge 0$, כלומר $x\ge 1$. נעלה בריבוע:

או

שני הפתרונות מקיימים $x\ge 1$. בדיקה:

תשובה: נקודות החיתוך: $(1,0)$ ו־$(2.6,4.8)$

$A(t,2\sqrt{t^2-1})$, כאשר $1<t<2.6$.

$AB$ מקביל לציר ה־$y$, ולכן ל־$B$ אותו שיעור $x$: $B(t,3t-3)$.

לפי סעיף ב, הגרף של $f$ והישר נחתכים רק ב־$x=1$ וב־$x=2.6$. שתי הפונקציות רציפות, ולכן בתוך הקטע $1<t<2.6$ אחת מהן נמצאת מעל השנייה לכל אורכו, ומספיק לבדוק נקודה אחת. עבור $t=2$:

לכן בכל הקטע גרף $f$ נמצא מעל הישר, ו:

תשובה: $AB=2\sqrt{t^2-1}-3t+3$

$AC$ מקביל לציר ה־$x$, ולכן ל־$C$ אותו שיעור $y$ כמו ל־$A$. נציב בישר:

הישר עולה, ו־$A$ נמצאת מעליו, ולכן $C$ נמצאת מימין ל־$A$:

תשובה: $AC=\frac{2}{3}\sqrt{t^2-1}-t+1$

נסמן את סכום האורכים:

נגזור:

נשווה לאפס:

הערך חיובי ונמצא בתחום $1<t<2.6$.

בדיקת סימן הנגזרת:

תשובה: $t=\sqrt{1.8}=\frac{3}{\sqrt{5}}\approx 1.34$

שני תנאים: הביטוי שבתוך השורש אי־שלילי, והמכנה שונה מאפס.

זו פרבולה „מחייכת” עם שורשים $x=0$ ו־$x=\frac{k}{5}$, כאשר $k>0$; לכן:

בנוסף $x^3\ne 0$, כלומר $x\ne 0$:

תשובה: $x<0$ או $x\ge \frac{k}{5}$

בנקודת חיתוך של $f$ ו־$h=-f$:

כלומר נקודת החיתוך היא נקודת אפס של $f$, ושם $\sqrt{5x^2-kx}=0$. נציב $x=1.6$:

תשובה: $k=8$

עבור $k=8$: $f(x)=\frac{\sqrt{5x^2-8x}}{x^3}$, בתחום $x<0$ או $x\ge 1.6$.

אסימפטוטה אנכית. המכנה מתאפס ב־$x=0$ (מתקרבים אליו רק משמאל). כש־$x\to 0^{-}$ המונה שואף ל־0 לאט יותר מהמכנה:

כש־$x\to 0^{-}$: $\sqrt{5-\frac{8}{x}}\to \infty$ ו־$\frac{|x|}{x^3}=-\frac{1}{x^2}\to -\infty$, ולכן $f(x)\to -\infty$. האסימפטוטה: $x=0$.

אסימפטוטה אופקית. כש־$x\to \pm \infty$:

האסימפטוטה: $y=0$.

תשובה: $x=0$, $y=0$

נגזור לפי נגזרת המנה:

נכפול מונה ומכנה ב־$2\sqrt{5x^2-8x}$ ונצמצם ב־$x^2$:

ב־$x=1.6$ הנגזרת אינה מוגדרת – זו נקודת קצה של התחום.

הפונקציה עולה מימין ל־$x=1.6$, ולכן $(1.6,0)$ היא נקודת מינימום (קצה). בתחום $x<0$ הפונקציה יורדת כל הזמן, אין בו קיצון.

תשובה: מינימום (קצה) $(1.6,0)$; מקסימום $\left(2,\frac{1}{4}\right)$

נשתמש בכל הממצאים: בתחום $x<0$ הפונקציה שלילית ויורדת, מתקרבת ל־$y=0$ משמאל ויורדת ל־$-\infty$ ליד $x=0$. בתחום $x\ge 1.6$ היא מתחילה ב־$(1.6,0)$, עולה עד המקסימום $\left(2,\frac{1}{4}\right)$ ואחר כך יורדת ומתקרבת ל־$y=0$.

תשובה: ענף שמאלי, ב־$x<0$: שלילי ויורד, בין האסימפטוטות $y=0$ ו־$x=0$.
ענף ימני: מתחיל ב־$(1.6,0)$, עולה עד המקסימום $\left(2,\frac{1}{4}\right)$ ויורד אל $y=0$.

$g(x)=(f(x){)}^2=\frac{5x^2-8x}{x^6}=\frac{5x-8}{x^5}$, באותו תחום.

• $g(x)\ge 0$ תמיד, כי זהו ריבוע, ו־$g(x)=0$ רק ב־$x=1.6$.
• כאשר $x\to 0^{-}$: $f\to -\infty$, ולכן $g\to +\infty$. כלומר $x=0$ אסימפטוטה אנכית.
• כש־$f\to 0$ גם $g\to 0$: $y=0$ אסימפטוטה אופקית.
• $g^{\prime }=2f\cdot f^{\prime }$: ב־$x<0$ גם $f<0$ וגם $f^{\prime }<0$, לכן $g^{\prime }>0$ ו־$g$ עולה. ב־$x>1.6$ $f>0$, ולכן ל־$g$ אותם תחומי עלייה וירידה כמו ל־$f$: מקסימום ב־$x=2$, $g(2)={\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{1}{16}$.

תשובה: ענף שמאלי, ב־$x<0$: חיובי ועולה, בין האסימפטוטות $y=0$ ו־$x=0$.
ענף ימני: מתחיל ב־$(1.6,0)$, עולה עד המקסימום $\left(2,\frac{1}{16}\right)$ ויורד אל $y=0$.

בקטע $[a,a+1]$ כאשר $a>2$: לפי סעיף ג, $f$ יורדת עבור $x>2$, ולכן שם

עבור מספר בין 0 ל־1 הריבוע קטן מהמספר עצמו:

שתי הפונקציות חיוביות בקטע, והגרף של $g$ נמצא כולו מתחת לגרף של $f$, ולכן השטח שמתחתיו קטן יותר:

תשובה: קטן, כי בקטע מתקיים $0<f(x)<1$, ולכן $g(x)=f^2(x)<f(x)$.

בקטע $2\le x\le 6$ מתקיים $g(x)\ge 0$, ולכן השטח הוא האינטגרל:

פונקציה קדומה:

נציב את הגבולות:

תשובה: $S=\frac{25}{324}\approx 0.077$

$f^{\prime \prime }$ היא פונקציה קווית, כי $k\ne 0$, ולכן היא מחליפה סימן ב־$x=\frac{1}{k}$ – זו נקודת פיתול.

תשובה: $A\left(\frac{1}{k},8-\frac{2}{k^2}\right)$

ברביע הראשון שני השיעורים חיוביים:

יחד עם $k>0$:

תשובה: $k>\frac{1}{2}$

$B$ על ציר $x$ מתחת ל־$A$ ו־$C$ על ציר $y$ משמאל ל־$A$, ולכן (רביע ראשון):

סכום שטחי הריבועים, עבור $k>\frac{1}{2}$:

נגזור לפי כלל השרשרת, כאשר ${\left(-\frac{2}{k^2}\right)}^{\prime }=\frac{4}{k^3}$:

הערך בתחום, כי $0.508>0.5$. טבלת סימנים, כאשר $\frac{2}{k^3}>0$:

לכן הסכום מינימלי עבור $k=\sqrt{\frac{8}{31}}$.

תשובה: $k=\sqrt{\frac{8}{31}}\approx 0.508$

הפונקציה מוגדרת כשהמכנה שונה מאפס:

תשובה: $x\ne \pm 4$

אסימפטוטות אנכיות: ב־$x=\pm 4$ המכנה מתאפס. המונה שם הוא $2ax=\pm 8a$, והוא שונה מאפס כי $a>0$. לכן:

אסימפטוטה אופקית: מעלת המונה (1) קטנה ממעלת המכנה (4), ולכן כאשר $x\to \pm \infty$, $f(x)\to 0$:

תשובה: אנכיות: $x=4$ ו־$x=-4$. אופקית: $y=0$.

נגזור לפי נגזרת המנה. נגזרת המכנה:

ולכן המונה של $f^{\prime }(x)$ הוא:

והמכנה הוא $(x^2-16{)}^4$. נצמצם את המונה והמכנה בגורם המשותף:

נתון $a>0$, ותמיד $3x^2+16>0$, ולכן המונה תמיד שלילי ו־$f^{\prime }(x)\ne 0$: אין נקודות קיצון. הסימן של $f^{\prime }(x)$ הפוך לסימן של $(x^2-16{)}^3$:

עולה בתחום $-4<x<4$. יורדת בתחומים $x<-4$ ו־$x>4$.

תשובה: עולה ב־$-4<x<4$. יורדת ב־$x<-4$ וגם ב־$x>4$.

נאסוף את הנתונים:

• חיתוך עם הצירים: רק הנקודה $(0,0)$, כי $f(0)=0$.
• אסימפטוטות: $x=\pm 4$ ו־$y=0$.
• בתחום $-4<x<4$ הפונקציה עולה מ־$-\infty$ ל־$+\infty$.
• בתחום $x>4$ היא חיובית ויורדת לכיוון 0.
• בתחום $x<-4$ היא שלילית ויורדת לכיוון $-\infty$.
• אין נקודות קיצון.

הסקיצה איכותית: היא נבנתה רק מהנתונים שמצאנו בתת־סעיפים הקודמים, התקפים לכל $a>0$, בלי להציב ערך מספרי במקום הפרמטר $a$.

תשובה: שלושה ענפים, הגרף עובר בראשית, אסימפטוטות $x=\pm 4$ ו־$y=0$, אין קיצון.

נתון $g^{\prime }(x)=f(x)+1$. בנקודת קיצון $g^{\prime }(-2)=0$:

בדיקה: בתחום $-4<x<4$ הפונקציה $f$ עולה, ולכן $g^{\prime }(x)=f(x)+1$ עוברת ב־$x=-2$ מסימן שלילי לחיובי – זו אכן נקודת קיצון (מינימום).

תשובה: $a=36$

עבור $a=36$:

נמצא פונקציה קדומה. המונה $72x=36\cdot 2x$, ו־$2x$ היא נגזרת של $x^2-16$, ולכן:

בדיקה בגזירה:

הגרף עובר בנקודה $(2,7)$:

זהו ביטוי אפשרי: תחום ההגדרה מורכב משלושה קטעים נפרדים, והנקודה הנתונה קובעת את הקבוע רק בקטע $-4<x<4$.

תשובה: $g(x)=-\frac{36}{x^2-16}+x+2$

נבדוק את התכונות של

1. התנהגות באינסוף: כאשר $x\to \pm \infty$ המחובר $-\frac{36}{x^2-16}$ שואף ל־0, ולכן $g(x)$ מתקרבת לישר $y=x+2$: היא שואפת ל־$+\infty$ מימין ול־$-\infty$ משמאל. לפונקציה אין אסימפטוטה אופקית, ולכן הגרפים III ו־IV נפסלים.

2. הקטע $-4<x<4$: ליד $x=\pm 4$ מתקיים $x^2-16\to 0^{-}$, ולכן $g(x)\to +\infty$ בשני קצות הקטע. בקטע זה יש לגרף מינימום ב־$x=-2$ (סעיף ב):

הענף האמצעי פונה כלפי מעלה. בגרף I הענף האמצעי פונה כלפי מטה, ולכן גרף I נפסל.

3. הקטע $x>4$: שם $f(x)>0$, ולכן $g^{\prime }(x)=f(x)+1>0$: הפונקציה עולה מ־$-\infty$. זה מתאים לגרף II.