בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳

נציב $n=2$ בשוויון. באגף שמאל יש שני מחוברים:

באגף ימין:

נשווה:

תשובה: $b=4$

נוכיח באינדוקציה שלכל $n$ טבעי:

בדיקה עבור $n=1$: באגף שמאל $1^3=1$, ובאגף ימין:

הנחה: נניח שהטענה נכונה עבור $n=k$:

צעד: נוכיח עבור $n=k+1$, כלומר צריך להראות:

לפי ההנחה, סכום $k$ המחוברים הראשונים שווה ל־$\frac{k^2(k+1{)}^2}{4}$, ולכן אגף שמאל שווה ל:

נוציא גורם משותף $\frac{(k+1{)}^2}{4}$:

קיבלנו את אגף ימין, ולכן הטענה נכונה עבור $n=k+1$. לפי עקרון האינדוקציה השוויון נכון לכל $n$ טבעי.

תשובה: הוכחה באינדוקציה: בדיקה, הנחה וצעד.

תחום ההגדרה: לפי הגרף הפונקציה מוגדרת רק משמאל ל־$x=6$, כלומר:

בביטויים III ו־IV מופיע $\sqrt{x-6}$, שמוגדר רק עבור $x\ge 6$ — הם לא מתאימים.

סימן הפונקציה: לפי הגרף, בין $x=0$ ל־$x=6$ הגרף נמצא מתחת לציר ה־$x$, כלומר הפונקציה שלילית שם.

ביטוי I: בתחום $0<x<6$ שני הגורמים $x$ ו־$\sqrt{6-x}$ חיוביים, ולכן $x\sqrt{6-x}$ חיובי — לא מתאים.

ביטוי II: בתחום $0<x<6$ הביטוי $-x\sqrt{6-x}$ שלילי, ומשמאל ל־0 הוא חיובי — בדיוק כמו בגרף ✓.

תשובה: ביטוי II: $f(x)=-x\sqrt{6-x}$

$g(x)\ge 0$ בכל התחום, ו־$g(x)=0$ רק עבור $x=0$ ו־$x=6$. עבור $x<0$ הגרף עולה ללא גבול, ולכן השטח המוגבל נמצא בין $x=0$ ל־$x=6$:

תשובה: 108 יחידות שטח.

אסימפטוטה המאונכת לציר ה־$x$ (אנכית) של הפונקציה $g(x)=\frac{1}{f(x)-2}$ מתקבלת כאשר המכנה מתאפס, כלומר כאשר:

לפי הסרטוט: משמאל ל־$x=3$ הפונקציה $f$ עולה מערכים הקרובים ל־0 עד 4 (המקסימום), ומימין ל־$x=3$ היא יורדת מ־4 לערכים הקרובים ל־0.

לכן הערך 2 (שבין 0 ל־4) מתקבל פעם אחת בתחום העלייה ופעם אחת בתחום הירידה. בכל אחת משתי הנקודות האלה המונה הוא 1 והמכנה 0 — אסימפטוטה אנכית.

תשובה: שתי אסימפטוטות אנכיות.

כאשר $x\to \pm \infty$ מתקיים $f(x)\to 0$ (האסימפטוטה האופקית של $f$ היא $y=0$), ולכן:

תשובה: $y=-\frac{1}{2}$

נסמן ב־$x_1$ וב־$x_2$ את שתי הנקודות שבהן $f(x)=2$ (האסימפטוטות האנכיות מסעיף ג (1)). מכיוון ש־$f(0)=1$ קטן מ־2, הנקודה $x_1$ נמצאת בין 0 ל־3, והנקודה $x_2$ מימין ל־3.

נקודות על הגרף:

סימן: בין $x_1$ ל־$x_2$ מתקיים $f(x)>2$, ולכן $g$ חיובית. משמאל ל־$x_1$ ומימין ל־$x_2$ מתקיים $f(x)<2$, ולכן $g$ שלילית.

עלייה וירידה:

לכן $g$ יורדת כאשר $f$ עולה (משמאל ל־3), ועולה כאשר $f$ יורדת (מימין ל־3). בנקודה $(3,\frac{1}{2})$ יש ל־$g$ מינימום.

אסימפטוטות: שתי אנכיות ($x_1$, $x_2$) ואופקית $y=-\frac{1}{2}$.

(המיקום המדויק של $x_1$ ושל $x_2$ אינו נתון, ולכן הם מסומנים בסקיצה בלי ערך.)

תשובה: שלושה ענפים: ענף שמאלי שלילי שעובר ב־$(0,-1)$; ענף אמצעי חיובי עם מינימום $(3,\frac{1}{2})$; ענף ימני שלילי. אסימפטוטות: שתי אנכיות ו־$y=-\frac{1}{2}$.

במשולש ישר־זווית ($\angle A=90^{\circ }$) היתר $BC$ הוא הצלע הארוכה ביותר.

נניח ש־$BC$ הוא האיבר השני. אז:

לפי משפט פיתגורס:

זו משוואה ריבועית ב־$q^2$, והדיסקרימיננטה שלה שלילית:

אין פתרון, ולכן $BC$ אינו יכול להיות האיבר השני.

(נימוק נוסף: אם $q>1$ האיבר השלישי $AC$ ארוך מ־$BC$, ואם $q<1$ אז $BC$ קצר מ־$AB$. בשני המקרים $BC$ אינו הצלע הארוכה.)

תשובה: לא. אחרת מתקבלת המשוואה $q^4-q^2+1=0$, שאין לה פתרון.

לפי סעיף ד (1), האיבר השני הוא $AC$ והשלישי הוא $BC$:

לפי משפט פיתגורס:

$q^2>0$, ולכן $q^2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

תשובה: $BC=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618$