שאלות קצרות

נציב $n=2$ בשוויון. באגף שמאל יש שני מחוברים:

באגף ימין:

נשווה:

תשובה: $b=4$

נוכיח באינדוקציה שלכל $n$ טבעי:

בדיקה עבור $n=1$: באגף שמאל $1^3=1$, ובאגף ימין:

הנחה: נניח שהטענה נכונה עבור $n=k$:

צעד: נוכיח עבור $n=k+1$, כלומר צריך להראות:

לפי ההנחה, סכום $k$ המחוברים הראשונים שווה ל־$\frac{k^2(k+1{)}^2}{4}$, ולכן אגף שמאל שווה ל:

נוציא גורם משותף $\frac{(k+1{)}^2}{4}$:

קיבלנו את אגף ימין, ולכן הטענה נכונה עבור $n=k+1$. לפי עקרון האינדוקציה השוויון נכון לכל $n$ טבעי.

תשובה: הוכחה באינדוקציה: בדיקה, הנחה וצעד.

תחום ההגדרה: לפי הגרף הפונקציה מוגדרת רק משמאל ל־$x=6$, כלומר:

בביטויים III ו־IV מופיע $\sqrt{x-6}$, שמוגדר רק עבור $x\ge 6$ — הם לא מתאימים.

סימן הפונקציה: לפי הגרף, בין $x=0$ ל־$x=6$ הגרף נמצא מתחת לציר ה־$x$, כלומר הפונקציה שלילית שם.

ביטוי I: בתחום $0<x<6$ שני הגורמים $x$ ו־$\sqrt{6-x}$ חיוביים, ולכן $x\sqrt{6-x}$ חיובי — לא מתאים.

ביטוי II: בתחום $0<x<6$ הביטוי $-x\sqrt{6-x}$ שלילי, ומשמאל ל־0 הוא חיובי — בדיוק כמו בגרף ✓.

תשובה: ביטוי II: $f(x)=-x\sqrt{6-x}$

$g(x)\ge 0$ בכל התחום, ו־$g(x)=0$ רק עבור $x=0$ ו־$x=6$. עבור $x<0$ הגרף עולה ללא גבול, ולכן השטח המוגבל נמצא בין $x=0$ ל־$x=6$:

תשובה: 108 יחידות שטח.

אסימפטוטה המאונכת לציר ה־$x$ (אנכית) של הפונקציה $g(x)=\frac{1}{f(x)-2}$ מתקבלת כאשר המכנה מתאפס, כלומר כאשר:

לפי הסרטוט: משמאל ל־$x=3$ הפונקציה $f$ עולה מערכים הקרובים ל־0 עד 4 (המקסימום), ומימין ל־$x=3$ היא יורדת מ־4 לערכים הקרובים ל־0.

לכן הערך 2 (שבין 0 ל־4) מתקבל פעם אחת בתחום העלייה ופעם אחת בתחום הירידה. בכל אחת משתי הנקודות האלה המונה הוא 1 והמכנה 0 — אסימפטוטה אנכית.

תשובה: שתי אסימפטוטות אנכיות.

כאשר $x\to \pm \infty$ מתקיים $f(x)\to 0$ (האסימפטוטה האופקית של $f$ היא $y=0$), ולכן:

תשובה: $y=-\frac{1}{2}$

נסמן ב־$x_1$ וב־$x_2$ את שתי הנקודות שבהן $f(x)=2$ (האסימפטוטות האנכיות מסעיף ג (1)). מכיוון ש־$f(0)=1$ קטן מ־2, הנקודה $x_1$ נמצאת בין 0 ל־3, והנקודה $x_2$ מימין ל־3.

נקודות על הגרף:

סימן: בין $x_1$ ל־$x_2$ מתקיים $f(x)>2$, ולכן $g$ חיובית. משמאל ל־$x_1$ ומימין ל־$x_2$ מתקיים $f(x)<2$, ולכן $g$ שלילית.

עלייה וירידה:

לכן $g$ יורדת כאשר $f$ עולה (משמאל ל־3), ועולה כאשר $f$ יורדת (מימין ל־3). בנקודה $(3,\frac{1}{2})$ יש ל־$g$ מינימום.

אסימפטוטות: שתי אנכיות ($x_1$, $x_2$) ואופקית $y=-\frac{1}{2}$.

(המיקום המדויק של $x_1$ ושל $x_2$ אינו נתון, ולכן הם מסומנים בסקיצה בלי ערך.)

תשובה: שלושה ענפים: ענף שמאלי שלילי שעובר ב־$(0,-1)$; ענף אמצעי חיובי עם מינימום $(3,\frac{1}{2})$; ענף ימני שלילי. אסימפטוטות: שתי אנכיות ו־$y=-\frac{1}{2}$.

במשולש ישר־זווית ($\angle A=90^{\circ }$) היתר $BC$ הוא הצלע הארוכה ביותר.

נניח ש־$BC$ הוא האיבר השני. אז:

לפי משפט פיתגורס:

זו משוואה ריבועית ב־$q^2$, והדיסקרימיננטה שלה שלילית:

אין פתרון, ולכן $BC$ אינו יכול להיות האיבר השני.

(נימוק נוסף: אם $q>1$ האיבר השלישי $AC$ ארוך מ־$BC$, ואם $q<1$ אז $BC$ קצר מ־$AB$. בשני המקרים $BC$ אינו הצלע הארוכה.)

תשובה: לא. אחרת מתקבלת המשוואה $q^4-q^2+1=0$, שאין לה פתרון.

לפי סעיף ד (1), האיבר השני הוא $AC$ והשלישי הוא $BC$:

לפי משפט פיתגורס:

$q^2>0$, ולכן $q^2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

תשובה: $BC=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618$

נוכיח שלכל $n$ טבעי:

שלב 1 – בדיקה עבור $n=1$:

האגפים שווים, ולכן הטענה נכונה עבור $n=1$.

שלב 2 – הנחה: נניח שהטענה נכונה עבור $n=k$:

שלב 3 – צעד: נוכיח שהטענה נכונה עבור $n=k+1$, כלומר:

באגף שמאל, סכום האיברים עד האיבר ה־$k$ שווה לפי ההנחה ל־$\frac{k(k+1)}{2(2k+1)}$, ולכן אגף שמאל שווה ל:

נוציא את $\frac{k+1}{2k+1}$ כגורם משותף:

נפרק את הטרינום:

ולכן:

קיבלנו את אגף ימין. לפי עקרון האינדוקצייה, הטענה נכונה לכל $n$ טבעי.

תשובה: הוכחה באינדוקצייה מתמטית: בדיקה, הנחה וצעד.

נגדיר את המאורעות: $C$ – הספר הוא ספר קומיקס, $H$ – הספר הוא בעברית. לפי הנתונים:

טענה I: לפי נוסחת החיבור:

הסתברות של מאורע היא לכל היותר 1, כלומר $P(C\cup H)\le 1$, ולכן:

כלומר לפחות 30% מהספרים הם ספרי קומיקס בעברית, ולכן יש לו ספרי קומיקס בעברית. טענה I אינה נכונה.

טענה II: לפי הגדרת ההסתברות המותנית:

המונים שווים וחיוביים ‏(‏לפחות 0.3‏)‏, והמכנה בשבר הראשון קטן יותר, ולכן $P(H/C)>P(C/H)$. טענה II נכונה.

תשובה: טענה I לא נכונה ‏(‏לפחות 30% מהספרים הם קומיקס בעברית‏)‏; טענה II נכונה.

$g(x)=\frac{1}{f^2(x)}$ מוגדרת כאשר $f(x)$ מוגדרת ו־$f(x)\ne 0$.

$f(x)$ מוגדרת לכל $x$, ולפי הגרף היא מתאפסת רק ב־$x=12$ ‏(‏חותכת את ציר ה־$x$ רק בנקודה זו‏)‏.

תשובה: תחום ההגדרה: $x\ne 12$

אסימפטוטות: ב־$x=12$ מתקיים $f(x)\to 0$, ולכן $g(x)\to +\infty$: אסימפטוטה אנכית $x=12$.

כאשר $x\to \pm \infty$ גם $f(x)\to 0$ ‏(‏האסימפטוטה $y=0$‏)‏, ולכן $g(x)\to +\infty$ – ל־$g$ אין אסימפטוטה אופקית.

חיוביות: $g(x)=\frac{1}{f^2(x)}>0$ לכל $x$ בתחום.

נקודות קיצון: נגזור:

$g^{\prime }(x)=0$ רק כאשר $f^{\prime }(x)=0$, כלומר ב־$x=6$ וב־$x=18$.

לכן ל־$g$ שתי נקודות מינימום:

כיוון ש־$a>1$, המינימום הימני נמוך יותר: $\frac{1}{4a^2}<\frac{1}{a^2}$.

תשובה: סקיצה: $g>0$, אסימפטוטה אנכית $x=12$, מינימום $(6,\frac{1}{a^2})$ ומינימום $(18,\frac{1}{4a^2})$, ואין אסימפטוטה אופקית.

נבדוק כמה נקודות חיתוך יש לישר אופקי $y=c$ עם הגרף של $g$ ‏(‏לפי הסקיצה‏)‏:

• $c>\frac{1}{a^2}$: ארבע נקודות.
• $c=\frac{1}{a^2}$: שלוש נקודות – נקודת המינימום $(6,\frac{1}{a^2})$ ועוד שתי נקודות בענף הימני.
• $\frac{1}{4a^2}<c<\frac{1}{a^2}$: שתי נקודות.
• $c=\frac{1}{4a^2}$: נקודה אחת.

לכן בדיוק שלוש נקודות חיתוך מתקבלות רק כאשר הישר עובר דרך המינימום השמאלי:

$a=3$ מקיים $a>1$.

תשובה: $a=3$

$g^{\prime }(x)=f(x)$, ולכן $g(x)$ היא פונקציה קדומה של $f(x)$:

המונה הוא כמעט הנגזרת של הביטוי שבסוגריים: $(x^3-8{)}^{\prime }=3x^2$, ו־$-30x^2=-10\cdot 3x^2$. לכן:

בדיקה בגזירה:

נציב $g(0)=0.75$:

תשובה: $g(x)=\frac{10}{x^3-8}+2$

• לכל $x\ne 2$:
  $g^{\prime }(x)=\frac{-30x^2}{(x^3-8{)}^2}\le 0$
  ולכן $g$ יורדת בכל קטע של תחום ההגדרה. זה פוסל את גרף III ‏(‏יש בו מינימום‏)‏ ואת גרף IV ‏(‏עולה‏)‏.
• $g^{\prime }(0)=f(0)=0$, ולכן לגרף של $g$ יש משיק אופקי בנקודה $(0,0.75)$. בגרף I יש משיק אופקי על ציר ה־$y$, ובגרף II אין.

בנוסף, בגרף I רואים אסימפטוטה אנכית $x=2$ ‏(‏המכנה $x^3-8$ מתאפס‏)‏ ואסימפטוטה אופקית $y=2$, כמצופה.

תשובה: גרף I

$KA$ ו־$KE$ משיקים, ולכן $OA\perp KA$ ו־$OE\perp KE$ (רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה). נתון $KA\perp KE$, ולכן במרובע $AOEK$ שלוש זוויות ישרות – זהו מלבן, ומכיוון ש־$OA=OE=R$ הוא ריבוע.

לכן $AK=R$, והאלכסון $KO$ חוצה את הזווית: $\angle AOK=\angle AKO=45^{\circ }$.

אורך האלכסון בריבוע שצלעו $R$:

$B$ על המעגל, לכן $OB=R$ ו־

נחשב את שני השטחים בנוסחה $S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$:

היחס:

תשובה: פי $\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1\approx 2.41$

נמצא את $R$ משטח המשולש $AOB$:

הגובה לצלע $AK$ במשולש $AKB$ הוא האנך $BH$ מ־$B$ לישר $AK$. במשולש ישר הזווית $BHK$ הזווית $\angle BKH=45^{\circ }$, ולכן:

בדיקה: $S_{AKB}=\frac{1}{2}\cdot AK\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 6.727\cdot 1.97\approx 6.63$, ואכן $16:6.63\approx 2.41$ כמו בסעיף הקודם.

תשובה: אורך הגובה $\approx 1.97$

בכל משחק: $P(\text{נדב מנצח})=p$, $P(\text{יאיר מנצח})=2p$, ולכן $P(\text{תיקו})=1-3p$.

„אחד השחקנים ניצח פעמיים” – או שנדב ניצח בשני המשחקים, או שיאיר ניצח בשניהם (המשחקים בלתי תלויים):

תשובה: $5p^2$

נסמן: $A$ – שני המשחקים הסתיימו בתיקו, $B$ – אף שחקן לא ניצח פעמיים. ידוע ש־$B$ התרחש, ולכן המבוקש הוא $P(A/B)$. לפי נוסחת ההסתברות המותנית:

אם שני המשחקים תיקו, אף שחקן לא ניצח פעמיים: $A$ מוכל ב־$B$, ולכן $P(A\cap B)=P(A)=(1-3p{)}^2$. $B$ הוא המשלים של המאורע מסעיף ב (1): $P(B)=1-5p^2$. נציב:

נשווה לנתון:

ההסתברות לתיקו היא $1-3p\ge 0$, כלומר $p\le \frac{1}{3}$. $\frac{11}{27}>\frac{1}{3}$ – אז $1-3p<0$, ולכן נפסל.

תשובה: תשובה III: $p=\frac{1}{6}$

הביטוי שבתוך כל שורש חייב להיות אי־שלילי:

החיתוך של שני התנאים – שני קטעים:

או

תשובה: $-4\le x\le -1$
או $1\le x\le 4$

לפי תחום ההגדרה, הפונקציה אינה מוגדרת ב־$-1<x<1$ – ובפרט לא ב־$x=0$. לכן גרפים I ו־II נפסלים – נשארים III ו־IV.

נחשב ערכים בקצוות התחום הימני:

כלומר $f(1)>f(4)$: הקצה הפנימי – הקרוב לציר $y$ – גבוה מהקצה החיצוני. כך זה בגרף IV, ובגרף III להפך.

(אפשר לחזק: $f(2)=\sqrt{3}+2\sqrt{12}=5\sqrt{3}\approx 8.66$ גדול משני הקצוות, כלומר יש מקסימום בתוך התחום – „גבעה” ולא „עמק”.)

תשובה: גרף IV

לכל $n$ טבעי $2^n$ זוגי, ולכן $\cos (\pi \cdot 2^n)=1$. מכאן:

תשובה: $a_1=\frac{1}{10}$, $a_2=\frac{1}{20}$, $a_3=\frac{1}{40}$

נבדוק את המנה בין שני איברים עוקבים, לכל $n$:

המנה קבועה – לא תלויה ב־$n$, ולכן הסדרה הנדסית, עם מנה $q=\frac{1}{2}$.

תשובה: כן, סדרה הנדסית עם $q=\frac{1}{2}$

$|q|=\frac{1}{2}<1$, ולכן לסדרה סכום אינסופי:

תשובה: $\frac{1}{5}$

נסמן את הטענה:

שלב 1 – בדיקה עבור $n=1$:

שני האגפים שווים, ולכן הטענה נכונה עבור $n=1$.

שלב 2 – הנחה: נניח שהטענה נכונה עבור $n=k$:

שלב 3 – צעד: נוכיח שהטענה נכונה עבור $n=k+1$, כלומר:

האיבר ה־$(k+1)$ בסדרה הוא:

לפי ההנחה, סכום $k$ האיברים הראשונים שווה ל:

לכן אגף שמאל:

קיבלנו את אגף ימין. לכן אם הטענה נכונה עבור $n=k$ היא נכונה גם עבור $n=k+1$, ולפי עקרון האינדוקציה היא נכונה לכל $n$ טבעי.

תשובה: הוכחה באינדוקציה: בדיקה, הנחה וצעד.

נסמן $BM=EM=m$.

במשולש $EDM$: נתון $AD\perp ED$, ולכן המשולש ישר־זווית והזווית $D$ ישרה:

במשולש $ABM$: נתון $AB\perp BM$, ולכן המשולש ישר־זווית והזווית $B$ ישרה.

הזוויות $AMB$ ו־$EMD$ קודקודיות, ולכן $\angle AMB=\alpha$:

נתון $AM=2.5\cdot DM$:

הזווית $\alpha$ חדה, ולכן הקוסינוס חיובי:

תשובה: $\alpha \approx 50.77^{\circ }$

מסעיף 1 ${\cos }^2\alpha =0.4$, ולכן:

אורך $BM$: במשולש $EDM$:

ולכן $BM=EM=2\sqrt{10}$.

אורך $AM$:

אורך $BC$: במרובע $BCDM$ כל שתי צלעות נגדיות מקבילות: $BC$ מקביל ל־$MD$, כי $AD\parallel BC$, ו־$CD$ מקביל ל־$BM$, כי $CD\parallel BE$. לכן $BCDM$ מקבילית, וצלעות נגדיות בה שוות:

גובה הטרפז: נוריד גובה $BH$ מ־$B$ לבסיס $AD$. במשולש ישר־הזווית $BHM$:

שטח הטרפז:

תשובה: $S_{ABCD}=18\sqrt{6}\approx 44.09$

נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה־$x$:

לכן הגרפים I ו־IV (שחותכים את הציר ב־$x=0$ ובנקודה חיובית) הם של $f(x)$, והגרפים II ו־III (שחותכים ב־$x=0$ ובנקודה שלילית) הם של $g(x)$.

זוגיות של $n$: שתי הפונקציות הן פולינומים ממעלה $n+1$, והמקדם המוביל שלהן הוא 1.

• אם $n$ אי־זוגי, המעלה $n+1$ זוגית: הגרף עולה לאינסוף בשני הקצוות. ליד $x=0$ הגורם $x^n$ מחליף סימן – הגרף חותך את הציר ב־$x=0$.
• אם $n$ זוגי, המעלה $n+1$ אי־זוגית: בקצה השמאלי הגרף יורד למינוס אינסוף. ליד $x=0$ הגורם $x^n\ge 0$ אינו מחליף סימן – הגרף משיק לציר ב־$x=0$.

מכאן:

• גרף I: של $f(x)$, שני הקצוות למעלה וחיתוך ב־$x=0$ – $n$ אי־זוגי.
• גרף II: של $g(x)$, שני הקצוות למעלה וחיתוך ב־$x=0$ – $n$ אי־זוגי.
• גרף III: של $g(x)$, הקצה השמאלי למטה ומשיק ב־$x=0$ – $n$ זוגי.
• גרף IV: של $f(x)$, הקצה השמאלי למטה ומשיק ב־$x=0$ – $n$ זוגי.

תשובה: I – $f(x)$, $n$ אי־זוגי
II – $g(x)$, $n$ אי־זוגי
III – $g(x)$, $n$ זוגי
IV – $f(x)$, $n$ זוגי

עבור $n=4$:

נקודות החיתוך עם ציר ה־$x$ הן $x=-1$ ו־$x=0$. בתחום שביניהן:

ולכן $g(x)\ge 0$ – הגרף מעל הציר, כמו בגרף III.

השטח המוגבל על ידי הגרף וציר ה־$x$:

תשובה: $\frac{1}{30}$ יחידות שטח.

הפונקציה $g$ מוגדרת כאינטגרל של $f$:

לכן את סימן הנגזרת של $g$ קוראים מהגרף הנתון של $f$.

לפי הגרף, $f(x)=0$ ב־$x=0,1,2.7,4.5$. ב־$x=2.7$ הגרף רק משיק לציר ואינו מחליף סימן.

ב־$x=2.7$ אין קיצון, כי $g^{\prime }(x)$ חיובית משני צדיה.

הנקודה $x=0$ היא קצה התחום. אחריה הפונקציה $g$ יורדת, ולכן זו נקודת מקסימום (קצה).

שיעורי ה־$x$ של נקודות הקיצון: $x=0$ מקסימום, $x=1$ מינימום, $x=4.5$ מקסימום.

תשובה: מקסימום (קצה) ב־$x=0$, מינימום ב־$x=1$, מקסימום ב־$x=4.5$.

$g(x)$ היא פונקציה קדומה של $f(x)$, ולכן לכל $a$, $b$:

השטח בין 0 ל־1: נתון $g(2.7)=0$, ולכן:

כאן השתמשנו ב־$g(0)={\int }_0^{0}f(t)dt=0$. בין 0 ל־1 הגרף מתחת לציר ובין 1 ל־2.7 מעליו, ולכן שני השטחים שווים:

השטח בין 0 ל־1 שווה ל־$S$.

השטח בין 2.7 ל־4.5 (הגרף מעל הציר):

השטח הכולל בין הגרף לציר ה־$x$ בתחום $0\le x\le 4.5$:

תשובה: $5S$

נוכיח באינדוקציה שלכל $n$ טבעי:

שלב 1 – בדיקה עבור $n=1$:

האגפים שווים, ולכן הטענה נכונה עבור $n=1$.

שלב 2 – הנחה: נניח שהטענה נכונה עבור $n=k$:

שלב 3 – צעד: נוכיח שהטענה נכונה עבור $n=k+1$, כלומר:

לפי ההנחה, סכום $k$ המחוברים הראשונים שווה ל־$\frac{2k(2k+1)(k+1)}{3}$, ולכן אגף שמאל שווה ל:

נוציא גורם משותף $\frac{2(k+1)}{3}$:

קיבלנו את אגף ימין. לפי עקרון האינדוקציה המתמטית הטענה נכונה לכל $n$ טבעי.

תשובה: הוכחה באינדוקציה: בדיקה עבור $n=1$, הנחה עבור $n=k$, צעד עבור $n=k+1$.

הסכום $4^2+6^2+\cdots +100^2$ הוא הסכום מסעיף א (1) בלי המחובר הראשון $2^2$.

המחובר האחרון הוא $100^2=(2\cdot 50{)}^2$, ולכן $n=50$:

נחסיר את $2^2=4$:

תשובה: $171,696$

תשובה: הוכחה: $OA=OB$ ו־$OC=OD$, לכן $AC=BD$ – טרפז שאלכסוניו שווים הוא שווה שוקיים.

מסעיף ב (1): $OC=OD=4$ ו־$OA=OB=3$.

האלכסונים מאונכים, ולכן המשולש $ODC$ ישר זווית ושווה שוקיים. לפי משפט פיתגורס:

במשולש $BCD$: הקטע $OF$ מקביל לצלע $DC$, ולכן לפי משפט תאלס המורחב ‏(‏‏$△BOF\sim △BDC$‏)‏:

תשובה: $OF=\frac{12\sqrt{2}}{7}\approx 2.42$

נשתמש בקשר בין פונקציה לנגזרת שלה: במקום שבו לפונקציה יש משיק אופקי ‏(‏קיצון או פיתול עם משיק אופקי‏)‏, גרף הנגזרת שלה חותך או משיק לציר ה־$x$; במקום שבו הפונקציה עולה – הנגזרת חיובית, ובמקום שבו היא יורדת – הנגזרת שלילית.

• לגרף II יש נקודה אחת עם משיק אופקי משמאל ‏(‏פיתול‏)‏ ומקסימום אחד בצד החיובי. גרף III משיק לציר ה־$x$ משמאל, חיובי עד נקודה בצד החיובי ושלילי אחריה – בדיוק סימני השיפוע של II. לכן II הוא $f$ ו־III הוא $f^{\prime }$.
• לגרף III יש שלוש נקודות קיצון ‏(‏מינימום משמאל, מקסימום בצד השלילי, מינימום בצד החיובי‏)‏. לגרף I יש בדיוק שלוש נקודות חיתוך עם ציר ה־$x$, והוא שלילי במקומות שבהם III יורד וחיובי במקומות שבהם III עולה. לכן I הוא $f^{\prime \prime }$.

בדיקה נוספת בנקודה $x=0$: גרף III יורד שם, ואכן גרף I עובר שם בנקודה $(0,-2)$, מתחת לציר. גרף II עולה שם, ואכן גרף III עובר בנקודה $(0,2)$, מעל לציר.