בגרות חורף תשפ״ו (2026)

שני תנאים: הביטוי שבתוך השורש אי־שלילי, והמכנה שונה מאפס.

זו פרבולה „מחייכת” עם שורשים $x=0$ ו־$x=\frac{k}{5}$, כאשר $k>0$; לכן:

בנוסף $x^3\ne 0$, כלומר $x\ne 0$:

תשובה: $x<0$ או $x\ge \frac{k}{5}$

בנקודת חיתוך של $f$ ו־$h=-f$:

כלומר נקודת החיתוך היא נקודת אפס של $f$, ושם $\sqrt{5x^2-kx}=0$. נציב $x=1.6$:

תשובה: $k=8$

עבור $k=8$: $f(x)=\frac{\sqrt{5x^2-8x}}{x^3}$, בתחום $x<0$ או $x\ge 1.6$.

אסימפטוטה אנכית. המכנה מתאפס ב־$x=0$ (מתקרבים אליו רק משמאל). כש־$x\to 0^{-}$ המונה שואף ל־0 לאט יותר מהמכנה:

כש־$x\to 0^{-}$: $\sqrt{5-\frac{8}{x}}\to \infty$ ו־$\frac{|x|}{x^3}=-\frac{1}{x^2}\to -\infty$, ולכן $f(x)\to -\infty$. האסימפטוטה: $x=0$.

אסימפטוטה אופקית. כש־$x\to \pm \infty$:

האסימפטוטה: $y=0$.

תשובה: $x=0$, $y=0$

נגזור לפי נגזרת המנה:

נכפול מונה ומכנה ב־$2\sqrt{5x^2-8x}$ ונצמצם ב־$x^2$:

ב־$x=1.6$ הנגזרת אינה מוגדרת – זו נקודת קצה של התחום.

הפונקציה עולה מימין ל־$x=1.6$, ולכן $(1.6,0)$ היא נקודת מינימום (קצה). בתחום $x<0$ הפונקציה יורדת כל הזמן, אין בו קיצון.

תשובה: מינימום (קצה) $(1.6,0)$; מקסימום $\left(2,\frac{1}{4}\right)$

נשתמש בכל הממצאים: בתחום $x<0$ הפונקציה שלילית ויורדת, מתקרבת ל־$y=0$ משמאל ויורדת ל־$-\infty$ ליד $x=0$. בתחום $x\ge 1.6$ היא מתחילה ב־$(1.6,0)$, עולה עד המקסימום $\left(2,\frac{1}{4}\right)$ ואחר כך יורדת ומתקרבת ל־$y=0$.

תשובה: ענף שמאלי, ב־$x<0$: שלילי ויורד, בין האסימפטוטות $y=0$ ו־$x=0$.
ענף ימני: מתחיל ב־$(1.6,0)$, עולה עד המקסימום $\left(2,\frac{1}{4}\right)$ ויורד אל $y=0$.

$g(x)=(f(x){)}^2=\frac{5x^2-8x}{x^6}=\frac{5x-8}{x^5}$, באותו תחום.

• $g(x)\ge 0$ תמיד, כי זהו ריבוע, ו־$g(x)=0$ רק ב־$x=1.6$.
• כאשר $x\to 0^{-}$: $f\to -\infty$, ולכן $g\to +\infty$. כלומר $x=0$ אסימפטוטה אנכית.
• כש־$f\to 0$ גם $g\to 0$: $y=0$ אסימפטוטה אופקית.
• $g^{\prime }=2f\cdot f^{\prime }$: ב־$x<0$ גם $f<0$ וגם $f^{\prime }<0$, לכן $g^{\prime }>0$ ו־$g$ עולה. ב־$x>1.6$ $f>0$, ולכן ל־$g$ אותם תחומי עלייה וירידה כמו ל־$f$: מקסימום ב־$x=2$, $g(2)={\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{1}{16}$.

תשובה: ענף שמאלי, ב־$x<0$: חיובי ועולה, בין האסימפטוטות $y=0$ ו־$x=0$.
ענף ימני: מתחיל ב־$(1.6,0)$, עולה עד המקסימום $\left(2,\frac{1}{16}\right)$ ויורד אל $y=0$.

בקטע $[a,a+1]$ כאשר $a>2$: לפי סעיף ג, $f$ יורדת עבור $x>2$, ולכן שם

עבור מספר בין 0 ל־1 הריבוע קטן מהמספר עצמו:

שתי הפונקציות חיוביות בקטע, והגרף של $g$ נמצא כולו מתחת לגרף של $f$, ולכן השטח שמתחתיו קטן יותר:

תשובה: קטן, כי בקטע מתקיים $0<f(x)<1$, ולכן $g(x)=f^2(x)<f(x)$.

בקטע $2\le x\le 6$ מתקיים $g(x)\ge 0$, ולכן השטח הוא האינטגרל:

פונקציה קדומה:

נציב את הגבולות:

תשובה: $S=\frac{25}{324}\approx 0.077$