סדרות ואינדוקצייה

כל איברי הסדרה חיוביים, ולכן המנה $q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$ חיובית (מנה של שני מספרים חיוביים).

הסדרה יורדת, כלומר:

נחלק את שני האגפים ב־$a_n$ (חיובי):

לכן:

תשובה: $0<q<1$ (טענה II)

נבטא את $b_n$ באמצעות $a_n$ ו־$q$ (נוסחת האיבר הכללי: $a_{n+1}=a_{n}q$):

נבדוק את המנה בין שני איברים עוקבים:

המנה קבועה (אינה תלויה ב־$n$), ולכן $b_n$ היא סדרה הנדסית עם מנה $q$.

תשובה: הוכחה: $\frac{b_{n+1}}{b_n}=q$ — מנה קבועה.

שתי הסדרות הן הנדסיות אינסופיות יורדות עם אותה מנה $q$ (בין 0 ל־1). לפי נוסחת הסכום $S=\frac{a_1}{1-q}$:

נתון $S_b=1.96S_a$, ולכן:

לפי סעיף א המנה חיובית וקטנה מ־1, ולכן $q=0.6$.

תשובה: $q=0.6$

לפי סעיף ג, $1+q+q^2=1.96$:

הביטוי אינו תלוי ב־$n$, ולכן כל איברי הסדרה $c_n$ שווים זה לזה.

תשובה: הוכחה: $c_n=\frac{1+q+q^2}{4}=0.49$ לכל $n$.

כל איבר שווה $0.49$, ולכן סכום $k$ האיברים הראשונים הוא $0.49k$:

תשובה: $k=71$

אחרי שינוי הסימן, האיברים במקומות האי־זוגיים הם $0.49$ והאיברים במקומות הזוגיים הם $-0.49$.

ב־71 האיברים הראשונים יש 36 מקומות אי־זוגיים ו־35 מקומות זוגיים:

(כל זוג $0.49+(-0.49)$ מתאפס, ונשאר האיבר ה־71 בלבד.)

תשובה: $0.49$

לפי הנתון $a_{n+1}=a_n\cdot q$ ו־$b_{n+1}=b_n\cdot 2q$. נבדוק את היחס בין שני איברים עוקבים בסדרה $c_n$:

היחס קבוע ‏(‏אינו תלוי ב־$n$‏)‏, ולכן $c_n$ סדרה הנדסית שמנתה $2q^2$.

תשובה: הוכחה: היחס $\frac{c_{n+1}}{c_n}$ קבוע, והמנה היא $2q^2$.

$c_1=a_1\cdot b_1=a_1\cdot a_1=a_1^2$ ‏(‏כי $b_1=a_1$‏)‏, ולכן:

לפי הנתון $c_2=\frac{1}{8}{a}_1^2$, ולכן ‏(‏$a_1\ne 0$‏)‏:

אם $q=-\frac{1}{4}$, הסימנים של איברי $a_n$ מתחלפים והסדרה אינה עולה. לכן $q=\frac{1}{4}$.

תשובה: $q=\frac{1}{4}$

$a_n$ עולה, ולכן $a_2>a_1$:

‏(‏בסדרה הנדסית עם מנה $0<q<1$ האיברים קטנים בערכם המוחלט, ולכן היא יכולה לעלות רק אם איבריה שליליים.‏)‏

תשובה: האיבר $a_1$ שלילי.

המנה של $c_n$:

האיבר הראשון $c_1=a_1^2>0$, ולכן כל איברי $c_n$ חיוביים. סדרה הנדסית עם איברים חיוביים ומנה $0<\frac{1}{8}<1$ היא יורדת ‏(‏כל איבר הוא שמינית מקודמו‏)‏.

תשובה: הסדרה $c_n$ יורדת: איבריה חיוביים ומנתה $\frac{1}{8}$.

לשלוש הסדרות מנה בין $-1$ ל־$1$ ‏(‏$\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{8}$‏)‏, ולכן הן מתכנסות ולפי הנוסחאון $S=\frac{a_1}{1-q}$:

נציב בנתון $S_1+S_2+S_3=434$:

נכפיל ב־21:

נחלק ב־2:

או

לפי סעיף ג ‏(‏1‏)‏, $a_1$ שלילי, ולכן $a_1=-21$.

בדיקה: $S_1=-28,S_2=-42,S_3=504$, ואכן $-28-42+504=434$.

תשובה: $a_1=-21$

האיברים במקומות האי־זוגיים $a_1,a_3,a_5,\dots$ הם סדרה הנדסית עם איבר ראשון $a_1$ ומנה $q^2$; האיברים במקומות הזוגיים $a_2,a_4,\dots$ – סדרה הנדסית עם איבר ראשון $a_{1}q$ ומנה $q^2$.

הסדרה מתכנסת, לכן $|q|<1$ וגם $q^2<1$:

מהנתון:

הסדרה יורדת. במנה שלילית סימני האיברים מתחלפים והסדרה אינה יורדת, ולכן $q=\frac{1}{4}$ – ו־$a_1>0$.

תשובה: $q=\frac{1}{4}$

$a_n=a_1{q}^{n-1}$, $a_{n+1}=a_1{q}^n$, ולכן:

עבור $n=1$:

נתון $b_1=1$:

הסדרה יורדת ו־$0<q<1$, לכן $a_1>0$:

תשובה: $a_1=\sqrt{5}$

נציב $a_1^2=5$, $q=\frac{1}{4}$:

בדיקה: $b_1=16^0=1$ ✓

תשובה: $b_n=16^{n-1}$

דרך א – סכום סדרה הנדסית. לפי סעיף ג, $\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{16^n}{16^{n-1}}=16$, כלומר $b_n$ סדרה הנדסית עם $b_1=1$ ו־$q=16$. לפי נוסחת הסכום:

דרך ב – אינדוקציה.

בדיקה עבור $n=1$: אגף שמאל $b_1=1$, אגף ימין $\frac{16-1}{15}=1$ ✓

הנחה: נניח שהטענה נכונה עבור $n=k$:

צעד: נוכיח עבור $n=k+1$, כלומר $b_1+\cdots +b_{k+1}=\frac{16^{k+1}-1}{15}$. לפי ההנחה:

מכאן שהטענה נכונה לכל $n$ טבעי.

תשובה: הוכחה: $b_n$ הנדסית עם $b_1=1$, $q=16$, ולכן $b_1+\cdots +b_n=\frac{16^n-1}{15}$

בסדרה הנדסית $a_{n+1}=a_n\cdot q$, ולכן:

הסדרה עולה, ולכן $a_{n+1}-a_n>0$, כלומר:

נתון $0<q<1$, ולכן $q-1<0$. מכפלה של שני גורמים חיובית רק כששניהם באותו סימן, ולכן:

כל איברי הסדרה $a_n$ שליליים.

תשובה: כל איברי הסדרה שליליים.

שתי הסדרות הנדסיות עם אותה מנה $q$:

לכן:

נחשב את המנה בין שני איברים עוקבים. נתון $c_n\ne 0$, ולכן מותר לחלק:

המנה קבועה ואינה תלויה ב־$n$, ולכן $c_n$ היא סדרה הנדסית, ומנתה היא $q$.

תשובה: הוכחה: $\frac{c_{n+1}}{c_n}=q$ קבוע, ולכן $c_n$ הנדסית. המנה היא $q$.

$0<q<1$, ולכן שתי הסדרות $b_n$ ו־$c_n$ הן סדרות הנדסיות אין־סופיות מתכנסות, וסכומיהן:

נתון $S_c=17\cdot S_b$:

לפי הגדרת הסדרה $c_n$ עבור $n=1$:

תשובה: $a_1=-5$

האיברים במקומות האי־זוגיים $a_1,a_3,a_5,\dots$ הם סדרה הנדסית עם איבר ראשון $a_1$ ומנה $q^2$. נסמן את סכומם ב־$S_1$:

האיברים במקומות הזוגיים $a_2,a_4,a_6,\dots$ הם סדרה הנדסית עם איבר ראשון $a_{1}q$ ומנה $q^2$. נסמן את סכומם ב־$S_2$:

שני הטורים מתכנסים, כי $0<q^2<1$. נתון $S_2=S_1+4$:

נציב את $a_1=-5$ שמצאנו בסעיף ג:

הערך מקיים $0<q<1$.

תשובה: $q=\frac{1}{4}$

בסדרה הנדסית $a_n=a_1{q}^{n-1}$, ולכן:

מהנתון השני, ומכיוון ש־$a_4=4a_2$:

לכן $a_3=a_2\cdot q$:

תשובה: $a_3=8$ או $a_3=-8$

הסדרה $A$ לא עולה ולא יורדת. עבור $q=2$ כל האיברים חיוביים והסדרה עולה, ולכן:

‏(‏סימני האיברים מתחלפים, ולכן הסדרה לא עולה ולא יורדת.‏)‏

נבדוק את המנה בין שני איברים עוקבים בסדרה $B$:

המנה קבועה ‏(‏לא תלויה ב־$n$‏)‏, ולכן $B$ היא סדרה הנדסית שהמנה שלה $\frac{1}{4}$.

תשובה: הוכחה: $\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{1}{q^2}$ קבוע; המנה של $B$ היא $\frac{1}{4}$.

האיבר הכללי של $C$ הוא $c_n=\frac{k}{a_{2n-1}\cdot a_{2n}}$. נחשב את המנה:

כל איבר במכנה גדול פי $q^2$ מהאיבר המתאים במונה:

תשובה: $\frac{1}{16}$

האיבר הראשון של $C$:

המנה $\frac{1}{16}$ חיובית וקטנה מ־1, ולכן ערכו המוחלט של כל איבר קטן מזה של קודמו, וכל האיברים באותו סימן כמו $c_1$.

• כאשר $c_1$ שלילי, כל האיברים שליליים ומתקרבים ל־0, כלומר הסדרה עולה.
• כאשר $c_1$ חיובי, כל האיברים חיוביים וקטנים, כלומר הסדרה יורדת.

לכן $C$ עולה כאשר:

תשובה: $k>0$

שתי הסדרות הנדסיות אין־סופיות מתכנסות ‏(‏המנות $\frac{1}{4}$ ו־$\frac{1}{16}$ בין $-1$ ל־$1$‏)‏, ולכן $S=\frac{a_1}{1-q}$.

הסכום של $B$:

הסכום של $C$:

נציב בנתון $S_C=4\cdot S_B$:

תשובה: $k=5$

נסמן ב־$q$ את מנת הסדרה $A$. ב־$m$ איברים, $m-4$ האיברים האחרונים הם $a_5,a_6,\dots ,a_m$.

כל אחד מהם מתקבל מהאיבר שנמצא 4 מקומות לפניו, כפול $q^4$:

לכן:

לפי הנתון הסכום הזה גדול פי 16 מסכום $m-4$ האיברים הראשונים (שאינו 0, כי כל האיברים שליליים):

$q^4=16\Rightarrow q=2$  או  $q=-2$

אם $q=-2$, הסימנים של האיברים מתחלפים (שלילי, חיובי, שלילי…), וזה סותר את הנתון שכל האיברים שליליים. לכן:

תשובה: $q=2$

לכל $n$:

כל איברי הסדרה שליליים, ולכן $a_{n+1}-a_n=a_n<0$, כלומר $a_{n+1}<a_n$.

הסדרה $A$ יורדת — למשל $-1,-2,-4,\dots$.

תשובה: הסדרה יורדת.

האיבר הכללי של $A$:

נחשב את המנה בין שני איברים עוקבים של $B$:

המנה $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ קבועה — אינה תלויה ב־$n$ — ולכן $B$ היא סדרה הנדסית, ומנתה:

תשובה: $B$ הנדסית, ומנתה $\frac{k}{2}$

סכום של סדרה הנדסית אין־סופית מתכנס כאשר המנה מקיימת $-1<q<1$, וגם $q\ne 0$:

לפי הנתון $k\ne 0$, ולכן:

$-2<k<0$  או  $0<k<2$

תשובה: $-2<k<0$ או $0<k<2$

המנה של $B$ היא $\frac{k}{2}$:

הערך נמצא בתחום שמצאנו בסעיף ג.

סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת:

תשובה: $k=\frac{1}{2}$
$b_1=-\frac{27}{4}=-6.75$

האיברים שנמחקו, $b_3,b_6,b_9,\dots$, הם סדרה הנדסית אין־סופית:

כל איבר בה רחוק 3 מקומות מהקודם, ולכן המנה שלה:

סכום האיברים שנמחקו:

סכום האיברים הנותרים = סכום כל הסדרה פחות סכום האיברים שנמחקו:

תשובה: $-\frac{60}{7}=-8\frac{4}{7}$

בסדרה $2n+1$ איברים. נסמן את המנה ב־$q$ ($q>0$, כי האיברים חיוביים).

מציאת $q$: הסכום בלי שני האיברים הראשונים הוא $a_3+a_4+\cdots +a_{2n+1}$. כל איבר בו שווה לאיבר שנמצא שני מקומות לפניו כפול $q^2$:

הסוגריים הם בדיוק הסכום בלי שני האיברים האחרונים. לפי הנתון היחס הוא 4:

מציאת $n$: האיבר האמצעי הוא $a_{n+1}$. לפניו $n$ איברים ($a_1$ עד $a_n$) ואחריו $n$ איברים ($a_{n+2}$ עד $a_{2n+1}$). כל איבר אחרי האמצע שווה לאיבר המתאים לפני האמצע כפול $q^{n+1}$:

תשובה: $n=7$

לפי נוסחת האיבר הכללי $a_{k+1}=a_k\cdot q=2a_k$:

נבדוק את המנה בין שני איברים עוקבים:

המנה קבועה, ולכן $b_k$ היא סדרה הנדסית עם מנה $\frac{1}{4}$.

תשובה: הוכחה: $\frac{b_{k+1}}{b_k}=\frac{1}{4}$ — סדרה הנדסית שמנתה $\frac{1}{4}$.

הסדרה $b_k$ אינסופית יורדת (מנה $\frac{1}{4}$). נפריד בין המקומות האי־זוגיים לזוגיים:

מקומות אי־זוגיים: $b_1,b_3,b_5,\dots$ — סדרה הנדסית עם מנה ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{1}{16}$:

מקומות זוגיים אחרי ההכפלה: האיברים $2b_2,2b_4,\dots$ — גם הם סדרה הנדסית עם מנה $\frac{1}{16}$. האיבר הראשון:

לפי הנתון ההפרש הוא $\frac{1}{30}$:

ולפי סעיף ב:

(האיברים חיוביים, ולכן $a_1>0$.)

תשובה: $a_1=\frac{4}{3}$

$a_1=1$, ולכן $a_n=q^{n-1}$. נציב בהגדרה של $b_n$:

נבדוק את היחס בין שני איברים עוקבים:

היחס קבוע ‏(‏אינו תלוי ב־$n$‏)‏, ולכן $B$ סדרה הנדסית שמנתה $q^2$.

תשובה: הוכחה: $b_n=q^{2n}$, והמנה היא $q^2$

טענה I: המנה $q$ שלילית, ולכן סימני האיברים של $A$ מתחלפים: $a_1=1>0$, $a_2=q<0$, $a_3=q^2>0$, … לכן הסדרה לא עולה ולא יורדת. הטענה נכונה.

טענה II: $b_n=q^{2n}>0$ לכל $n$, והמנה $q^2$ מקיימת $0<q^2<1$. סדרה הנדסית עם איברים חיוביים ומנה בין 0 ל־1 היא יורדת. הטענה אינה נכונה.

טענה III: האיברים במקומות הזוגיים:

זו סדרה הנדסית שאיברה הראשון $q<0$ ומנתה $q^2$, כאשר $0<q^2<1$. האיברים שליליים, והערך המוחלט שלהם קטן מאיבר לאיבר, ולכן הם מתקרבים ל־0 מלמטה – כלומר הסדרה עולה. הטענה נכונה.

תשובה: טענה I נכונה; טענה II לא נכונה; טענה III נכונה

$B$ היא סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת ‏(‏$0<q^2<1$‏)‏, שאיברה הראשון $b_1=q^2$ ומנתה $q^2$:

לפי הנתון $-1<q<0$, ולכן:

תשובה: $q=-\frac{1}{3}$

נמצא ביטוי ל־$c_n$:

כלומר $C$ סדרה הנדסית שמנתה $-3$, ו־$c_3=(-3{)}^4=81$.

הסכום $c_3+c_4+\cdots +c_m$ הוא סכום של $m-2$ איברים, החל מ־$c_3$:

תשובה: $m=9$

בסדרה חשבונית $a_3=a_1+2d$, ולכן:

סדרה חשבונית עולה כאשר $d>0$, יורדת כאשר $d<0$, וקבועה כאשר $d=0$:

תשובה: (1) עולה: $k>2$
(2) יורדת: $k<2$
(3) קבועה: $k=2$