בגרות חורף תשפ״ב (2022)

הפונקציה מוגדרת כאשר המכנה שונה מאפס:

תשובה: כל $x$ פרט ל־$x=\sqrt[3]{m}$

אסימפטוטה אנכית: עבור $x=\sqrt[3]{m}$ המכנה מתאפס, והמונה $x^2=\sqrt[3]{m^2}\ne 0$ ‏(‏כי $m>0$‏)‏. לכן:

אסימפטוטה אופקית: במונה פולינום ממעלה 2 ובמכנה פולינום ממעלה 6. המעלה במכנה גדולה יותר, ולכן:

תשובה: אנכית $x=\sqrt[3]{m}$, ואופקית $y=0$

נגזור לפי כלל המנה:

נוציא גורם משותף $2x(x^3-m)$ ונצמצם:

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת. נציב $x=-1$:

תשובה: $m=2$

עבור $m=2$:

הנגזרת מתאפסת כאשר $x=0$ או $x^3=-1$, כלומר $x=-1$.

נציב בנגזרת נקודה מכל תחום ‏(‏למשל $x=-2$‏)‏ ונקבל את טבלת הסימנים:

נחשב את ערכי הפונקציה:

תשובה: מקסימום $\left(-1,\frac{1}{9}\right)$, מינימום $(0,0)$

נשתמש במה שמצאנו: אסימפטוטה אנכית $x=\sqrt[3]{2}\approx 1.26$, אסימפטוטה אופקית $y=0$, מקסימום $\left(-1,\frac{1}{9}\right)$ ומינימום $(0,0)$.

הפונקציה אינה שלילית לכל $x$ בתחום ‏(‏מונה ומכנה ריבועיים‏)‏, ולכן משני צדי האסימפטוטה האנכית הגרף שואף ל־$+\infty$.

תשובה: סקיצה:

$g(x)=k\cdot f(x)$ עם $k<0$: כל ערך של $f$ מוכפל במספר שלילי, ולכן הגרף מתהפך ביחס לציר ה־$x$ ‏(‏ומתכווץ או נמתח אנכית‏)‏.

המקסימום $\left(-1,\frac{1}{9}\right)$ הופך למינימום $\left(-1,\frac{k}{9}\right)$, הנקודה $(0,0)$ הופכת למקסימום, והאסימפטוטות לא משתנות. משני צדי $x=\sqrt[3]{2}$ הגרף שואף ל־$-\infty$.

תשובה: ‏(‏שיקוף של גרף $f$ ביחס לציר ה־$x$‏)‏.

נקודת הקיצון השמאלית של $g$ היא ב־$x=-1$. מימין לאנך, הגרף חוזר לציר ה־$x$ בנקודה $(0,0)$, ולכן השטח הוא בין $x=-1$ ל־$x=0$. בתחום הזה $g(x)\le 0$:

נמצא פונקציה קדומה. הנגזרת של $x^3-2$ היא $3x^2$, ולכן:

נחשב:

השטח נתון כ־1:

תשובה: $k=-18$

הביטוי שבתוך השורש חייב להיות אי־שלילי:

פרבולה צוחקת שהשורשים שלה $0$ ו־$2$, ולכן:

תשובה: $x\le 0$ או $x\ge 2$

נגזור:

הנגזרת מוגדרת כאשר הביטוי בשורש חיובי ממש ‏(‏השורש במכנה‏)‏:

תשובה: $x<0$ או $x>2$

אסימפטוטות אנכיות: המכנה מתאפס ב־$x=0$ וב־$x=2$, והמונה $2x-2$ שונה שם מאפס:

לכן $x=0$ ו־$x=2$ הן אסימפטוטות אנכיות.

אסימפטוטות אופקיות: נחלק מונה ומכנה ב־$|x|$. כאשר $x\to \infty$:

כאשר $x\to -\infty$ מתקיים $|x|=-x$, ולכן:

תשובה: אנכיות: $x=0$ וגם $x=2$. אופקית $y=5$ כאשר $x\to \infty$, ואופקית $y=1$ כאשר $x\to -\infty$.

נשווה את הנגזרת לאפס:

אגף ימין שלילי, ולכן צריך $2x-2<0$, כלומר $x<1$. בתחום ההגדרה זה אומר $x<0$.

נכפול במכנה ונעלה בריבוע:

רק הפתרון השלילי מתאים:

תשובה: $(-0.34,0)$

נאסוף את מה שמצאנו: בענף השמאלי $x<0$ הגרף מתחיל ליד האסימפטוטה $y=1$, חותך את ציר ה־$x$ ב־$(-0.34,0)$ ויורד ל־$-\infty$ ליד $x=0$.

בענף הימני $x>2$ הגרף יורד מ־$+\infty$ ליד $x=2$ ומתקרב לאסימפטוטה $y=5$. אין נקודות קיצון, ולכן בכל ענף הגרף יורד כל הזמן.

תשובה: סקיצה:

לפי גרף הנגזרת: בענף השמאלי $f^{\prime }>0$ משמאל ל־$x_0\approx -0.34$ ו־$f^{\prime }<0$ מימינו. בענף הימני $f^{\prime }>5>0$. נבדוק גם את נקודות הקצה $x=0$ ו־$x=2$:

נחשב ערכים:

שימו לב: הערך המדויק במקסימום הוא $f(x_0)=3-\sqrt{5}$.

תשובה: מקסימום $(-0.34,0.76)$, מינימום קצה $(0,0)$, מינימום קצה $(2,6)$

בענף השמאלי הגרף עולה עד המקסימום $(-0.34,0.76)$ ויורד עד נקודת הקצה $(0,0)$. כאשר $x\to -\infty$ הפונקציה שואפת ל־$-\infty$.

בענף הימני הגרף מתחיל בנקודת הקצה $(2,6)$ ועולה כל הזמן.

תשובה: סקיצה:

שיפוע הישר הוא 4. ישר כזה משיק לגרף רק אם יש $x$ שעבורו $f^{\prime }(x)=4$.

מגרף הנגזרת, ובגלל שבכל ענף הנגזרת יורדת:

• בענף $x<0$ הנגזרת מקבלת רק ערכים קטנים מ־1.
• בענף $x>2$ הנגזרת מקבלת רק ערכים גדולים מ־5.

לכן אין $x$ שעבורו $f^{\prime }(x)=4$, ואין ישר כזה שמשיק לגרף.

תשובה: לא. הנגזרת מקבלת רק ערכים קטנים מ־1 או גדולים מ־5, אף פעם לא 4.

נחלק את הסכר בנקודה $C$ לשני קטעים: $CA$ בתוך התעלה הראשית ו־$CB$ בתוך התעלה המשנית.

הקטע $CA$: רוחב התעלה הראשית $a$ הוא הניצב שליד הזווית $x$ במשולש ישר זווית שהיתר שלו $CA$:

הקטע $CB$: רוחב התעלה המשנית $b$ הוא הניצב שמול הזווית $x$ ‏(‏זוויות מתחלפות בין מקבילים‏)‏ במשולש ישר זווית שהיתר שלו $CB$:

לכן:

תשובה: $AB=\frac{a}{\cos x}+\frac{b}{\sin x}$, עבור $0<x<\frac{\pi }{2}$

נציב $a=2b$:

נגזור:

נשווה לאפס ונכפול ב־${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$:

ברדיאנים:

נבדוק שזה מינימום. הנגזרת שלילית לפני הנקודה ‏(‏למשל ב־$x=0.3$‏)‏ וחיובית אחריה ‏(‏למשל ב־$x=1$‏)‏:

תשובה: בערך $38.44^{\circ }$, כלומר $0.671$ רדיאנים

נציב את $x\approx 0.671$ בביטוי לאורך הסכר:

האורך המינימלי הוא 8:

תשובה: $b\approx 1.92$