בגרות חורף נבצרים תשפ״ב (2022)

הסימן של $f^{\prime }(x)$ נקרא מהגרף הנתון:

עלייה: $x<b$ וגם $x>c$.

ירידה: $b<x<c$.

תשובה: עולה: $x<b$ וגם $x>c$
יורדת: $b<x<c$

הקעירות של $f$ נקבעת לפי הסימן של $f^{\prime \prime }(x)$, כלומר לפי העלייה והירידה של $f^{\prime }(x)$. נקרא מהגרף של $f^{\prime }$:

• בתחום $x<b$ הנגזרת $f^{\prime }$ עולה, ולכן $f^{\prime \prime }>0$.
• בתחום $b<x<a$ הנגזרת $f^{\prime }$ עולה עד המקסימום שלה, ולכן $f^{\prime \prime }>0$.
• בתחום $a<x<c$ הנגזרת $f^{\prime }$ יורדת, ולכן $f^{\prime \prime }<0$.
• בתחום $x>c$ הנגזרת $f^{\prime }$ יורדת, ולכן $f^{\prime \prime }<0$.

קעורה כלפי מעלה $\cup$: $x<b$ וגם $b<x<a$.

קעורה כלפי מטה $\cap$: $a<x<c$ וגם $x>c$.

תשובה: $\cup$: $x<b$ וגם $b<x<a$
$\cap$: $a<x<c$ וגם $x>c$

נשתמש בתוצאות סעיף א:

• בכל אחד משלושת התחומים הגרף רציף, והישרים $x=b$ ו־$x=c$ הם אסימפטוטות אנכיות שלו.
• בתחום $x<b$ הגרף עולה וקעור כלפי מעלה.
• בתחום $b<x<c$ הגרף יורד, עובר בנקודה $(a,0)$, ושם משנה קעירות (נקודת פיתול).
• בתחום $x>c$ הגרף עולה וקעור כלפי מטה.

זו סקיצה אפשרית: בסקיצה הישר $y=0$ אסימפטוטה אופקית, כפי שיתברר בסעיף ג.

תשובה: שלושה ענפים, אסימפטוטות $x=b$ ו־$x=c$, נקודת פיתול $(a,0)$.

האסימפטוטות האנכיות הן נקודות האיפוס של המכנה:

נתון $b<c$, ולכן $b=-2$ ו־$c=3$.

הנקודה $(a,0)$ על הגרף, ולכן $f(a)=0$:

תשובה: $a=\frac{1}{2}$, $b=-2$, $c=3$

בתחום $b<x<c$ הפונקציה יורדת (סעיף א), ולכן $f^{\prime }(x)<0$.

כמו כן $f^2(x)\ge 0$ לכל $x$. מכפלה של מספר שלילי במספר אי־שלילי היא אי־חיובית:

תשובה: הוכחה: בתחום זה $f^{\prime }(x)<0$ וגם $f^2(x)\ge 0$.

מתקיים $2a=1$, ולכן התחום הוא $0\le x\le 1$, והוא נמצא בתוך $-2<x<3$. לפי ד (1) הגרף שם אינו מעל ציר ה־$x$, ולכן:

הפונקציה $\frac{f^3(x)}{3}$ היא פונקציה קדומה של $f^{\prime }(x)f^2(x)$ (כלל השרשרת):

נחשב:

תשובה: $S=\frac{1}{12}$

המשולש שווה־צלעות, ולכן היקפו $3x$. מהחלק האחר, שאורכו $k-3x$, יוצרים מעגל.

שני החלקים צריכים להיות באורך חיובי:

תשובה: $0<x<\frac{k}{3}$

רדיוס המעגל: היקף המעגל הוא $k-3x$:

סכום השטחים:

נגזרת:

נשווה לאפס ונכפיל ב־$2\pi$:

סוג הקיצון:

לכן זו נקודת מינימום (והיחידה בתחום, ולכן מינימום מוחלט).

תשובה: $x=\frac{3k}{\sqrt{3}\pi +9}\approx 0.208k$

מהשוואת הנגזרת לאפס בסעיף ב:

נחלק ב־3:

אגף שמאל הוא רדיוס המעגל, ולכן כאשר הסכום מינימלי:

רדיוס המעגל החוסם משולש שווה־צלעות שצלעו $x$, לפי משפט הסינוסים:

כלומר $r=\frac{R}{2}$: רדיוס המעגל שהתקבל הוא רק חצי מהרדיוס הדרוש. לכן אי אפשר לחסום את המשולש במעגל שהתקבל.

(למעשה $r$ הוא בדיוק רדיוס המעגל החסום בתוך המשולש.)

תשובה: הוכחה: רדיוס המעגל שהתקבל הוא חצי מרדיוס המעגל החוסם את המשולש.