חדו״א – פונקציות טריגונומטריות

התחום הנתון סימטרי סביב 0. נבדוק את $f(-x)$, בעזרת הזהויות:

לכן $f$ זוגית.

תשובה: הוכחה: $f(-x)=f(x)$.

נגזור לפי כלל המכפלה ($({\sin }^{2}x{)}^{\prime }=2\sin x\cos x=\sin 2x$):

לפי $2{\sin }^{2}x=1-\cos 2x$:

השוואה ל־0. בתחום הנתון $-\frac{\pi }{2}\le 2x\le \frac{\pi }{2}$:

טבלת סימנים:

תשובה: מקסימום: $(\pm \frac{\pi }{6},\frac{1}{8})$
מינימום: $(0,0)$ ובקצוות $(\pm \frac{\pi }{4},0)$

לפי סעיף ב: הגרף מתחיל ב־$(-\frac{\pi }{4},0)$, עולה למקסימום $(-\frac{\pi }{6},\frac{1}{8})$, יורד ל־$(0,0)$, עולה ל־$(\frac{\pi }{6},\frac{1}{8})$ ויורד ל־$(\frac{\pi }{4},0)$. הגרף סימטרי לציר ה־$y$ (פונקציה זוגית) ו־$f(x)\ge 0$.

תשובה: צורת „M”: מקסימום ב־$(\pm \frac{\pi }{6},\frac{1}{8})$, מינימום ב־$(0,0)$ ובקצוות $(\pm \frac{\pi }{4},0)$.

$g(x)=\sqrt{a{f}^{\prime }(x)}$ מוגדרת כאשר $a{f}^{\prime }(x)\ge 0$. נתון $a<0$, ולכן צריך $f^{\prime }(x)\le 0$.

לפי טבלת הסימנים בסעיף ב, $f^{\prime }(x)\le 0$ בקטעים:

בדיקת קצות התחום:

— לא בתחום.

— בתחום.

תשובה: $-\frac{\pi }{6}\le x\le 0$
או
$\frac{\pi }{6}\le x\le \frac{\pi }{4}$

$g(x)=0$ בדיוק כאשר $f^{\prime }(x)=0$. לפי סעיף ב זה קורה ב־$x=-\frac{\pi }{6},0,\frac{\pi }{6}$, ושלוש הנקודות בתחום ההגדרה של $g$.

תשובה: $(-\frac{\pi }{6},0),(0,0),(\frac{\pi }{6},0)$

בנקודת פיתול של $f$ יש ל־$f^{\prime }$ נקודת קיצון. נבחן כל אחד משני חלקי התחום של $g$.

הקטע השמאלי ($-\frac{\pi }{6}$ עד 0): $f^{\prime }$ מתחילה ב־0, שלילית באמצע הקטע וחוזרת ל־0. לכן יש לה מינימום בתוך הקטע — זו נקודת הפיתול של $f$ שבתחום. מכיוון ש־$a<0$, הביטוי $a{f}^{\prime }$ מתחיל ב־0, עולה למקסימום וחוזר ל־0, וכך גם $g=\sqrt{a{f}^{\prime }}$: „גבעה” עם מקסימום אחד.

הקטע הימני ($\frac{\pi }{6}$ עד $\frac{\pi }{4}$): אין בו נקודת פיתול, ולכן $f^{\prime }$ מונוטונית שם: יורדת מ־0 ל־$-1$. לכן $g$ עולה מ־0 עד:

(הסקיצה איכותית: היא נובעת מניתוח הסימן והמונוטוניות של $f^{\prime }$ בלבד, ולכן מתאימה לכל $a<0$ בלי להציב ערך מספרי במקום $a$.)

תשובה: בקטע השמאלי: „גבעה” — עולה מ־0 למקסימום ויורדת ל־0.
בקטע הימני: עולה מ־0 עד $\sqrt{-a}$.

התחום $-\pi \le x\le \pi$ סימטרי סביב $0$, ו־$\cos (-x)=\cos x$, ולכן:

תשובה: הפונקצייה זוגית, כי $f(-x)=f(x)$.

$f(x)=0$ כאשר אחד הגורמים מתאפס:

הגורם הראשון:

הגורם השני:

כיוון ש־$0<b<1$, מתקיים $\frac{1}{b}>1$, ולכן למשוואה זו אין פתרון.

תשובה: נקודות החיתוך: $(-\pi ,0)$ ו־$(\pi ,0)$

נפתח סוגריים:

בנקודת קיצון $f^{\prime }(\frac{\pi }{3})=0$. כיוון ש־$\sin \frac{\pi }{3}\ne 0$:

תשובה: $b=\frac{1}{2}$

עם $b=\frac{1}{2}$:

$f^{\prime }(x)=0$ כאשר $\sin x=0$, כלומר $x=0,\pm \pi$, או כאשר $\cos x=\frac{1}{2}$, כלומר $x=\pm \frac{\pi }{3}$.

הפונקצייה זוגית, ולכן מספיק לבדוק את הקטע $0\le x\le \pi$:

נחשב ערכים:

לפי הזוגיות, אותו דבר בצד השלילי.

תשובה: מקסימום: $(0,-1)$ ו־$(\pm \pi ,0)$ בקצוות; מינימום: $\left(\pm \frac{\pi }{3},-\frac{9}{8}\right)$

הגרף סימטרי לציר ה־$y$ ‏(‏פונקצייה זוגית‏)‏, נמצא כולו מתחת לציר ה־$x$ או עליו, ונוגע בציר ה־$x$ רק בקצוות $x=\pm \pi$.

תשובה: סקיצה: גרף זוגי מתחת לציר ה־$x$, מינימום $(\pm \frac{\pi }{3},-\frac{9}{8})$, מקסימום $(0,-1)$, קצוות $(\pm \pi ,0)$.

לפי הסעיפים הקודמים, הערך הגדול ביותר של $f$ הוא $0$, כלומר $f(x)\le 0$ לכל $x$ בתחום. לכן $|f(x)|=-f(x)$, ו:

הגרף של $h$ הוא קטע של ציר ה־$x$, ולכן לכל נקודה $A$ על הגרף שיעור ה־$y$ שווה לאפס.

תשובה: שיעור ה־$y$ שווה לאפס, כי $f(x)\le 0$ ולכן $h(x)=0$.

התחום $-\pi \le x\le \pi$ סימטרי סביב 0. נבדוק $f(-x)$, בעזרת $\sin (-x)=-\sin x$ ו־$\cos (-x)=\cos x$:

לכן $f(x)$ זוגית.

תשובה: הוכחה: $f(-x)=(-\sin x{)}^2+\cos x-1=f(x)$, והתחום סימטרי.

נציב ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$:

בתחום $-\pi \le x\le \pi$:

תשובה: $(0,0)$, $\left(\frac{\pi }{2},0\right)$, $\left(-\frac{\pi }{2},0\right)$

הפתרונות בתחום:

בגלל שהפונקציה זוגית מספיק לבדוק את $0\le x\le \pi$ (הצד השני סימטרי):

למשל ב־$x=\frac{\pi }{2}$: $f^{\prime }=1\cdot (0-1)<0$.

תשובה: מינימום $(0,0)$; מקסימום $\left(\pm \frac{\pi }{3},\frac{1}{4}\right)$; מינימום (קצה) $(\pm \pi ,-2)$

לפי הסעיפים הקודמים: הגרף סימטרי סביב ציר $y$, מתחיל ב־$(-\pi ,-2)$, עולה דרך $\left(-\frac{\pi }{2},0\right)$ עד המקסימום $\left(-\frac{\pi }{3},\frac{1}{4}\right)$, יורד למינימום $(0,0)$, וחוזר באופן סימטרי עד $(\pi ,-2)$.

תשובה: גרף סימטרי לציר $y$: עולה מ־$(-\pi ,-2)$ עד המקסימום $\left(-\frac{\pi }{3},\frac{1}{4}\right)$, יורד למינימום $(0,0)$, ובאופן סימטרי עד $(\pi ,-2)$.

ל־$g(x)=\frac{1}{f(x)+b}$ יש אסימפטוטה אנכית בכל נקודה שבה המכנה מתאפס, כלומר שבה $f(x)=-b$. צריך שלמשוואה $f(x)=-b$ יהיו בדיוק שני פתרונות בתחום.

לפי הגרף מסעיף ג, טווח הערכים של $f$ הוא $-2\le f(x)\le \frac{1}{4}$, ומספר הפתרונות הוא:

• $-b=\frac{1}{4}$: שני פתרונות, $x=\pm \frac{\pi }{3}$.
• $0<-b<\frac{1}{4}$: ארבעה פתרונות.
• $-b=0$: שלושה פתרונות – $0,\pm \frac{\pi }{2}$.
• $-2\le -b<0$: שני פתרונות (אחד בכל צד).

לכן $b=-\frac{1}{4}$ (הערך השלילי היחיד), או כל $b$ בתחום $0<b\le 2$ – למשל $b=1$.

תשובה: ערך שלילי: $b=-\frac{1}{4}$; ערך חיובי: כל $0<b\le 2$, למשל $b=1$

עם $b=-\frac{1}{4}$:

המכנה מתאפס כאשר $f(x)=\frac{1}{4}$, כלומר ב־$x=\pm \frac{\pi }{3}$ – המקסימום של $f$. לכן:

תשובה: $-\pi \le x\le \pi$, $x\ne \pm \frac{\pi }{3}$

המכנה חיובי, ולכן הסימן של $g^{\prime }$ הפוך לסימן של $f^{\prime }$: היכן ש־$f$ עולה $g$ יורדת, ולהפך. נקודות החשודות הן נקודות הקיצון של $f$ שבתחום של $g$: $x=0$ ו־$x=\pm \pi$.

בגלל הזוגיות, אותו דבר ב־$x=-\pi$.

תשובה: מקסימום $(0,-4)$; מקסימום (קצה) $\left(\pm \pi ,-\frac{4}{9}\right)$

$f(x)\le \frac{1}{4}$ בכל התחום, ולכן $g(x)<0$ – הגרף כולו מתחת לציר $x$. ליד $x=\pm \frac{\pi }{3}$ המכנה שואף ל־0 מצד שלילי, ולכן $g\to -\infty$ משני הצדדים. במרכז: מקסימום $(0,-4)$; בקצוות: $\left(\pm \pi ,-\frac{4}{9}\right)$, משם הגרף יורד אל האסימפטוטות.

תשובה: גרף שלילי עם אסימפטוטות $x=\pm \frac{\pi }{3}$; משני צדיהן $g\to -\infty$. מקסימום $(0,-4)$; בקצוות $\left(\pm \pi ,-\frac{4}{9}\right)$.

הפונקציה מוגדרת כשהמכנה $\cos x\ne 0$. בתחום $-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$ מתקיים $\cos x=0$ רק ב־$x=\pm \frac{\pi }{2}$. לכן תחום ההגדרה:

תשובה: $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$

בתחום מתקיים $\cos x>0$. בקצוות התחום $\cos x\to 0^{+}$, ולכן $\frac{1}{\cos x}\to +\infty$ ו־$f(x)\to +\infty$:

תשובה: $x=\frac{\pi }{2}$, $x=-\frac{\pi }{2}$

תחום ההגדרה סימטרי סביב 0, ו־$\cos (-x)=\cos x$, ולכן:

הפונקציה זוגית.

תשובה: זוגית: $f(-x)=f(x)$.

נגזור:

בתחום ההגדרה:

למשוואה $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ אין פתרון בתחום, כי בו $\cos x>0$.

נבדוק סימן בנקודות נבחרות:

בצד השלילי הסימנים הפוכים, כי הנגזרת של פונקציה זוגית היא אי־זוגית. טבלת סימנים:

נקודות הקיצון:

תשובה: מקסימום: $(0,3)$
מינימום: $\left(\pm \frac{\pi }{4},2\sqrt{2}\right)$

הגרף סימטרי לציר ה־$y$. בתחום $\cos x>0$, ולכן $f(x)>0$ והגרף כולו מעל ציר ה־$x$. יש לו אסימפטוטות $x=\pm \frac{\pi }{2}$, מקסימום $(0,3)$ ומינימום $\left(\pm \frac{\pi }{4},2\sqrt{2}\right)$.

תשובה: צורת W, סימטרית לציר ה־$y$.
אסימפטוטות: $x=\pm \frac{\pi }{2}$.
מקסימום $(0,3)$, מינימום $\left(\pm \frac{\pi }{4},2\sqrt{2}\right)$.

המכנה צריך להיות שונה מאפס:

בתחום הנתון זה מוציא שלוש נקודות:

תחום ההגדרה:

תשובה: $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$, $x\ne 0$

לפי הזהות $\sin 2x=2\sin x\cos x$:

בתחום ההגדרה $\sin x\ne 0$, ולכן מותר לצמצם:

תשובה: הוכחה בעזרת הזהות $\sin 2x=2\sin x\cos x$.

לפי סעיף ה, $g(x)=f(x)$ בכל התחום, פרט לנקודה $x=0$ שבה $g$ אינה מוגדרת. כלומר, גרף $g$ הוא גרף $f$ בלי הנקודה $(0,3)$.

נבדוק כמה נקודות חיתוך יש לישר $y=k$ עם גרף $f$ (לפי הסקיצה):

• $k>3$: שתי נקודות.
• $k=3$: שלוש נקודות – $x=0$ ועוד שתיים.
• $2\sqrt{2}<k<3$: ארבע נקודות.
• $k=2\sqrt{2}$: שתי נקודות.
• $k<2\sqrt{2}$: אין נקודות.

רק עבור $k=3$ יש לגרף $f$ שלוש נקודות חיתוך, אבל אחת מהן היא $(0,3)$, שאינה על גרף $g$. לכן לגרף $g$ יש עבור $k=3$ רק שתי נקודות חיתוך.

לא קיים ערך של $k$ שבעבורו הישר חותך את גרף $g$ בשלוש נקודות בדיוק.

תשובה: לא קיים ערך כזה.
רק הישר $y=3$ חותך את גרף $f$ בשלוש נקודות, ובגרף $g$ חסרה הנקודה $(0,3)$.

בכל נקודת קיצון של $f$ הנגזרת מתאפסת; בתחום שבו $f$ עולה $f^{\prime }>0$, ובתחום שבו היא יורדת $f^{\prime }<0$.

• לגרף II יש מקסימום ‏(‏בערך באמצע החצי הראשון של התחום‏)‏ ומינימום ‏(‏בחצי השני‏)‏. בדיוק שם גרף I חותך את ציר ה־$x$.
• גרף II עולה בהתחלה ובסוף התחום, ושם גרף I חיובי; באמצע, כשגרף II יורד, גרף I שלילי.
• לעומת זאת, לגרף I יש מינימום בחצי השני של התחום, אבל שם גרף II אינו מתאפס – ולכן II אינו יכול להיות הנגזרת של I.

לכן גרף II מתאר את $f(x)$ וגרף I מתאר את $f^{\prime }(x)$.

תשובה: גרף II

$f(x)=\frac{\sin x}{1+{\sin }^{2}x}$. המכנה תמיד חיובי, ולכן:

בתחום $0\le x\le 2\pi$:

תשובה: $(0,0),(\pi ,0),(2\pi ,0)$

נגזור לפי כלל המנה. המונה של הנגזרת:

ולכן:

$f^{\prime }(x)=0\iff \cos x=0$, ובתחום: $x=\frac{\pi }{2},x=\frac{3\pi }{2}$.

בקצוות: $f(0)=0$ ו־$f(2\pi )=0$. המכנה של $f^{\prime }$ חיובי, ולכן סימן $f^{\prime }$ הוא סימן $\cos x$:

תשובה: מינ' קצה $(0,0)$; מקס' $(\frac{\pi }{2},\frac{1}{2})$; מינ' $(\frac{3\pi }{2},-\frac{1}{2})$; מקס' קצה $(2\pi ,0)$

הפונקציה $g$ מתאפסת כאשר הביטוי שבתוך הערך המוחלט מתאפס:

נכפול ב־5 ונסדר:

$\sin x=2$ – אין פתרון. $\sin x=\frac{1}{2}$:

תשובה: $(\frac{\pi }{6},0),(\frac{5\pi }{6},0)$

נבנה את הגרף של $g$ מהגרף של $f$: מורידים את גרף $f$ ב־$0.4$, ואת החלק שמתחת לציר ה־$x$ משקפים כלפי מעלה.

• $f(x)-0.4$ שווה ל־$-0.4$ בקצוות, ל־$0.1$ ב־$x=\frac{\pi }{2}$, ול־$-0.9$ ב־$x=\frac{3\pi }{2}$.
• $f(x)-0.4>0$ רק בין $\frac{\pi }{6}$ ל־$\frac{5\pi }{6}$; בשאר התחום הוא שלילי ומשתקף.

לכן: $g(0)=0.4$, יורדת ל־$0$ ב־$\frac{\pi }{6}$, עולה ל־$0.1$ ב־$\frac{\pi }{2}$, יורדת ל־$0$ ב־$\frac{5\pi }{6}$, עולה ל־$0.9$ ב־$\frac{3\pi }{2}$ ויורדת ל־$0.4$ ב־$2\pi$.

תשובה: סקיצה: $g\ge 0$, נוגעת בציר ה־$x$ ב־$\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$, מקסימומים ב־$(\frac{\pi }{2},0.1)$ ו־$(\frac{3\pi }{2},0.9)$.

מהסקיצה ומהקשר ל־$f$:

• בנקודות $x=\frac{\pi }{6}$ ו־$x=\frac{5\pi }{6}$ מתקיים $g=0$, ושם יש מינימום, כי תמיד $g\ge 0$.
• בנקודות הקיצון של $f$, כלומר ב־$x=\frac{\pi }{2}$ וב־$x=\frac{3\pi }{2}$, יש ל־$g$ מקסימום:

בקצוות:

• מימין ל־$x=0$ הפונקצייה $f$ עולה לכיוון $0.4$, ולכן $g$ יורדת – ב־$x=0$ יש מקסימום קצה.
• משמאל ל־$x=2\pi$ הפונקצייה $f$ עולה מ־$-\frac{1}{2}$ ל־$0$, ולכן $g$ יורדת – ב־$x=2\pi$ יש מינימום קצה.

תשובה: מקס' $(0,0.4)$, מינ' $(\frac{\pi }{6},0)$, מקס' $(\frac{\pi }{2},0.1)$, מינ' $(\frac{5\pi }{6},0)$, מקס' $(\frac{3\pi }{2},0.9)$, מינ' $(2\pi ,0.4)$

המכנה ${\cos }^{2}x$ לא יכול להתאפס:

בתחום $-\frac{3\pi }{2}\le x\le \frac{3\pi }{2}$ נוציא את הנקודות $x=\pm \frac{\pi }{2}$ ו־$x=\pm \frac{3\pi }{2}$. תחום ההגדרה:

תשובה: $-\frac{3\pi }{2}<x<-\frac{\pi }{2}$
$-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$
$\frac{\pi }{2}<x<\frac{3\pi }{2}$

תחום ההגדרה סימטרי ביחס ל־0. נשתמש ב־$\cos (-x)=\cos x$:

לכן הפונקציה זוגית.

תשובה: זוגית: $f(-x)=f(x)$

נגזרת: נכתוב $\frac{2}{{\cos }^{2}x}=2(\cos x{)}^{-2}$ ונגזור לפי כלל השרשרת:

$f^{\prime }(x)=0$:

• $\sin x=0$: בתחום ההגדרה $x=-\pi ,0,\pi$.
• $\frac{4}{{\cos }^{3}x}=1$, כלומר ${\cos }^{3}x=4$ — אין פתרון, כי $\cos x\le 1$.

הישר $y=2$ אופקי, ולכן הוא משיק לגרף רק בנקודה שבה $f^{\prime }(x)=0$ ו־$f(x)=2$.

הישר משיק בשתי נקודות. ב־$x=0$ יש רק נקודה אחת, וב־$x=\pm \pi$ יש שתיים (הפונקציה זוגית). לכן:

בדיקה: אז $f(0)=4\ne 2$, כך שיש בדיוק שתי נקודות השקה.

תשובה: $a=1$

עבור $a=1$:

לפי סעיף ג, $f^{\prime }(x)=0$ ב־$x=-\pi ,0,\pi$:

סוג הנקודות — הגורם $\frac{4}{{\cos }^{3}x}-1$: כאשר $\cos x>0$ הוא חיובי, כי ${\cos }^{3}x\le 1<4$, וכאשר $\cos x<0$ הוא שלילי. טבלת סימנים (מספיק $x\ge 0$, הפונקציה זוגית):

ב־$x=0$ הפונקציה עוברת מירידה (משמאל, מהזוגיות) לעלייה — מינימום. ב־$x=\pi$ מירידה לעלייה — מינימום. מהזוגיות גם $(-\pi ,2)$ מינימום.

נקודות הקצה $\pm \frac{3\pi }{2}$ אינן בתחום ההגדרה, ולכן אין קיצון בקצוות.

תשובה: שלוש נקודות מינימום: $(-\pi ,2),(0,4),(\pi ,2)$

אסימפטוטות אנכיות: כאשר $\cos x\to 0$, המחובר $\frac{2}{{\cos }^{2}x}\to +\infty$, ולכן $f(x)\to +\infty$ משני הצדדים של:

חיתוך עם הצירים: $f(0)=4$. עם ציר ה־$x$ אין חיתוך — כל נקודות המינימום מעל הציר, כי $f\ge 2$.

בכל אחד משלושת קטעי התחום הגרף יורד מ־$+\infty$ עד נקודת המינימום ועולה שוב ל־$+\infty$:

תשובה: שלושה ענפים בצורת U מעל ציר ה־$x$, עם נקודות מינימום ואסימפטוטות אנכיות ב־$x=\pm \frac{\pi }{2}$ וב־$x=\pm \frac{3\pi }{2}$

נקודות הקיצון של $g$ ו־$h$: $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)$, ולכן ל־$g$ יש קיצון באותם ערכי $x$ כמו ל־$f$: $x=-\pi ,0,\pi$. גם

מתאפסת באותם ערכי $x$. כלומר לשתי הפונקציות יש קיצון ב־$x=-\pi ,0,\pi$.

נקודת מפגש: הגרפים נפגשים בנקודה אם $g(x)=h(x)$:

$g(x)=1$  או  $g(x)=-1$

זה צריך להתקיים גם ב־$x=0$ וגם ב־$x=\pm \pi$:

$k=3$  או  $k=5$

$k=1$  או  $k=3$

הערך המשותף:

בדיקה: עבור $k=3$, $g(0)=1=h(0)$ ו־$g(\pm \pi )=-1=h(\pm \pi )$.

תשובה: $k=3$