בגרות קיץ תשפ״ג (2023) – מועד מיוחד

$f(x)=x+\sqrt{x^2-4}$. הביטוי שבתוך השורש חייב להיות אי־שלילי:

תשובה: $x\le -2$ או $x\ge 2$

נפתור $f(x)=0$:

צריך $-x\ge 0$, כלומר $x\le 0$. נעלה בריבוע:

אין פתרון, ולכן לגרף אין נקודות חיתוך עם ציר ה־$x$.

תשובה: אין נקודות חיתוך עם ציר ה־$x$.

נגזור:

בתחום $x>2$: שני המחוברים חיוביים, ולכן $f^{\prime }(x)>0$ והפונקציה עולה.

בתחום $x<-2$: השורש קטן מהערך המוחלט של $x$:

ומכיוון ש־$x$ שלילי:

כלומר $f^{\prime }(x)<0$ והפונקציה יורדת.

הנגזרת לא מתאפסת אף פעם. בקצוות התחום:

תשובה: הפונקציה יורדת בתחום $x\le -2$ ועולה בתחום $x\ge 2$.

נגזור שוב:

המכנה חיובי בכל תחום ההגדרה, פרט לקצוות שבהם $f^{\prime \prime }$ לא מוגדרת. לכן $f^{\prime \prime }(x)<0$.

הפונקציה קעורה כלפי מטה בשני התחומים, ואין תחומי קעירות כלפי מעלה.

תשובה: קעורה כלפי מטה $(\cap )$ בתחום $x<-2$ ובתחום $x>2$; אין תחומי קעירות כלפי מעלה.

נשלים את התמונה בהתנהגות באין־סוף:

כאשר $x\to \infty$: שני המחוברים גדלים, ולכן $f(x)\to \infty$.

כאשר $x\to -\infty$ נכפול ונחלק בצמוד:

המכנה שואף למינוס אינסוף, ולכן $f(x)\to 0^{-}$: האסימפטוטה האופקית משמאל היא $y=0$.

סיכום: משמאל הגרף יורד מתחת לציר ה־$x$, מ־$y=0$ אל נקודת הקצה $(-2,-2)$; מימין הגרף עולה מנקודת הקצה $(2,2)$ אל אינסוף. שני הענפים קעורים כלפי מטה.

תשובה: סקיצה: הענף השמאלי יורד מהאסימפטוטה $y=0$ עד הנקודה $(-2,-2)$; הענף הימני עולה מהנקודה $(2,2)$ לאין־סוף; הגרף קעור כלפי מטה.

הגרף של $h(x)=-f(-x)$ מתקבל מהגרף של $f$ בשני שיקופים: $f(-x)$ הוא שיקוף ביחס לציר ה־$y$, והמינוס שלפניו משקף ביחס לציר ה־$x$. יחד – שיקוף ביחס לראשית הצירים.

בפועל: $h(x)=x-\sqrt{x^2-4}$. הנקודה $(2,2)$ עוברת ל־$(-2,-2)$ ולהפך; הענף הימני של $h$ יורד מ־$(2,2)$ אל האסימפטוטה $y=0$, והענף השמאלי יורד מ־$(-2,-2)$ למינוס אינסוף.

תשובה: סקיצה: $h$ היא שיקוף של גרף $f$ ביחס לראשית ‏(‏בקו מקווקו‏)‏.

נחשב את ההפרש בין הפונקציות:

זו פונקציה זוגית וחיובית, ולכן כל שלושת האינטגרלים חיוביים. בגלל הזוגיות, הגרף סימטרי ביחס לציר ה־$y$, ולכן:

כלומר שלושת הביטויים הם שטחים מתחת לגרף של $2\sqrt{x^2-4}$ על שלושה קטעים ברוחב 1:

• ביטוי III: הקטע $[a-2,a-1]$
• ביטוי I: הקטע $[a,a+1]$
• ביטוי II: הקטע $[a+1,a+2]$

מכיוון ש־$a>4$, כל הקטעים נמצאים בתחום $x>2$, ושם הפונקציה $2\sqrt{x^2-4}$ עולה. לכן ככל שהקטע ימני יותר, השטח גדול יותר:

בדיקה מספרית עבור $a=5$:

תשובה: מהקטן לגדול: III, I, II.

הקטע $DE$ מקביל לציר ה־$y$, ולכן המשולש $OED$ ישר זווית ב־$E$, עם ניצבים $OE=p$ ו־$DE$:

לכן $D(p,1)$. הישר $AB$ עובר דרך $D$ ושיפועו $-2$:

תשובה: $y=-2x+2p+1$

הנקודה $A$ על ציר ה־$y$, ולכן נציב $x=0$:

הנקודה $B$ על ציר ה־$x$, ולכן נציב $y=0$:

המשולש $ABO$ ישר זווית בראשית, ולכן שטחו:

היחס בין השטחים:

נגזור לפי $p$, כאשר $p>0$:

$k^{\prime }(p)=0$ עבור $p=\frac{1}{2}$.

לכן היחס מקסימלי עבור $p=\frac{1}{2}$. היחס המקסימלי הוא $k\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$.

תשובה: $p=\frac{1}{2}$