מצגות הסבר › חדו״א – פונקציות טריגונומטריות

מצגת הסבר – חדו״א – פונקציות טריגונומטריות

10 שקפים · זוגיות, משוואות טריגונומטריות בתחום, קיצון, סקיצה ושטח

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דחדו״א – פונקציות טריגונומטריות · מצגת הסבר

חדו״א – פונקציות טריגונומטריות

מצגת הסבר – זוגיות, משוואות, קיצון ושטח

מתמטיקה 5 יח״לשאלון 35571תכנית חדשה

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355711 / 10

בס״דחדו״א – פונקציות טריגונומטריות · מצגת הסבר

מה נלמד?

בבחינה זו בדרך כלל שאלה 7. חקירה של פונקציה עם $sin$ , $cos$ או $tan$ בתחום נתון:

זוגית או אי־זוגית?
נגזרת ← משוואה טריגונומטרית ← נקודות קיצון (כולל קצוות התחום)
סקיצה של $f$ (ולפעמים של $f^{'}$ )
פונקציה חדשה (עם שורש, או $\frac{1}{f}$ ) – תחום, סקיצה, שטח

בגרות קיץ תשפ״ו מועד ב׳

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355712 / 10

בס״דחדו״א – פונקציות טריגונומטריות · מצגת הסבר

הנוסחאות מהנוסחאון

נגזרות

(sin x)^{'} = cos x (cos x)^{'} = - sin x

(tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}

אינטגרלים

\int sin x d x = - cos x + C

\int cos x d x = sin x + C

\int \frac{1}{cos ^{2} x} d x = tan x + C

זהויות

sin (- α) = - sin α cos (- α) = cos α

sin (π - α) = sin α cos (π - α) = - cos α

זווית כפולה

sin 2 α = 2 sin α cos α

cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α

= 2 cos^{2} α - 1 = 1 - 2 sin^{2} α

ובנוסף מהנוסחאון: נגזרת של מכפלה, של מנה ושל פונקצייה מורכבת – למשל $(sin^{2} x)^{'} = 2 sin x cos x = sin 2 x$ .

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355713 / 10

בס״דחדו״א – פונקציות טריגונומטריות · מצגת הסבר

זוגית או אי־זוגית?

זוגית

$f (- x) = f (x)$ ← הגרף סימטרי לציר ה־ $y$

אי־זוגית

$f (- x) = - f (x)$ ← הגרף סימטרי לראשית

תנאי ראשון: התחום סימטרי סביב 0. אחר כך מציבים $- x$ ומשתמשים בזהויות.

אם $f$ זוגית – $f^{'}$ אי־זוגית (ולהפך).

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 7

$f (x) = sin^{2} x \cdot cos 2 x$ בתחום $- \frac{π}{4} \leq x \leq \frac{π}{4}$

f (- x) = sin^{2} (- x) \cdot cos (- 2 x)

= (- sin x)^{2} \cdot cos 2 x

= sin^{2} x cos 2 x = f (x)

$f$ זוגית

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355714 / 10

בס״דחדו״א – פונקציות טריגונומטריות · מצגת הסבר

משוואות טריגונומטריות בתחום

$x$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$π$
$sin x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$0$
$cos x$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- 1$

מפרקים לגורמים (גורם משותף, או הצבה $t = cos x$ ).
פותרים כל גורם: $sin x = c$ ‏/ ‏ $cos x = c$ .
כותבים את כל הפתרונות, ולוקחים רק את אלה שבתחום.

בגרות קיץ תשפ״ד (2024) – מועד ב׳ · שאלה 7

בתחום $- π \leq x \leq π$ :

f^{'} (x) = 2 cos^{2} x + cos x - 1 = 0

הצבה $t = cos x$ : ‏ $2 t^{2} + t - 1 = 0$

(2 cos x - 1) (cos x + 1) = 0

cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{π}{3}

cos x = - 1 \Rightarrow x = \pm π

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355715 / 10

בס״דחדו״א – פונקציות טריגונומטריות · מצגת הסבר

נגזרת וטבלת סימנים (ב)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 7

כלל המכפלה, עם $(sin^{2} x)^{'} = sin 2 x$ :

f^{'} (x) = sin 2 x cos 2 x + sin^{2} x \cdot (- 2 sin 2 x)

= sin 2 x (cos 2 x - 2 sin^{2} x)

לפי $2 sin^{2} x = 1 - cos 2 x$ :

f^{'} (x) = sin 2 x (2 cos 2 x - 1)

בתחום $- \frac{π}{2} \leq 2 x \leq \frac{π}{2}$ :

sin 2 x = 0 \Rightarrow x = 0 cos 2 x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{π}{6}

$x$	$f^{'}$	$f$
$- \frac{π}{4} < x < - \frac{π}{6}$	+	עולה
$- \frac{π}{6} < x < 0$	−	יורדת
$0 < x < \frac{π}{6}$	+	עולה
$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{4}$	−	יורדת

הערכים בנקודות:

f (\pm \frac{π}{6}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} f (0) = f (\pm \frac{π}{4}) = 0

מקסימום $(\pm \frac{π}{6}, \frac{1}{8})$ , מינימום $(0, 0)$ ובקצוות

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355716 / 10

בס״דחדו״א – פונקציות טריגונומטריות · מצגת הסבר

סקיצה ופונקציה חדשה (ג, ד)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 7

צורת „M”, סימטרית לציר ה־ $y$ , ‏ $f (x) \geq 0$

$g (x) = a \cdot f^{'} (x)$ , כאשר $a < 0$ . מצאו את תחום ההגדרה של $g$ .

צריך $a \cdot f^{'} (x) \geq 0$ , ו־ $a < 0$ , ולכן $f^{'} (x) \leq 0$ . לפי הטבלה:

- \frac{π}{6} \leq x \leq 0 \frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{4}

בודקים את קצות התחום:

f^{'} (- \frac{π}{4}) = 1 > 0 ✗ f^{'} (\frac{π}{4}) = - 1 < 0 ✓

ד (2). $g = 0$ בדיוק כאשר $f^{'} = 0$ :

x = - \frac{π}{6}, x = 0, x = \frac{π}{6}

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355717 / 10

בס״דחדו״א – פונקציות טריגונומטריות · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה – קיצון ושטח

בגרות קיץ תשפ״ד (2024) – מועד ב׳ · שאלה 7

נתונה הפונקציה $f (x) = (1 + cos x) sin x$ בתחום $- π \leq x \leq π$ . ‏הפונקציה $g (x) = f^{2} (x) \cdot f^{'} (x)$ מוגדרת בתחום $0 \leq x \leq π$ . חשבו את השטח ברביע הראשון בין גרף $g$ לציר ה־ $x$ .

ד. מהשקף הקודם:

f^{'} (x) = (2 cos x - 1) (cos x + 1)

הגורם $cos x + 1$ אינו שלילי, ולכן הסימן נקבע לפי $2 cos x - 1$ . המקסימום:

f (\frac{π}{3}) = (1 + \frac{1}{2}) \cdot \frac{3}{2} = \frac{3 3}{4}

ו. תמיד $f^{2} \geq 0$ , ולכן הסימן של $g$ הוא הסימן של $f^{'}$ .

כלומר $g > 0$ רק בתחום $0 < x < \frac{π}{3}$ . לפי הנוסחאון:

\int f [u (x)] \cdot u^{'} (x) d x = F [u (x)] + C

\int_{0}^{\frac{π}{3}} f^{2} (x) f^{'} (x) d x = [\frac{f ^{3} ( x )}{3}]_{0}^{\frac{π}{3}} = \frac{1}{3} (\frac{3 3}{4})^{3}

$\frac{27 3}{64} \approx 0.731$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355718 / 10

בס״דחדו״א – פונקציות טריגונומטריות · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

עובדים ברדיאנים, והמחשבון במצב RAD.
במשוואה – כל הפתרונות בתחום (גם שליליים), ולא רק אחד.
עם $2 x$ : התחום של $2 x$ כפול מהתחום של $x$ .

קצוות התחום – גם הם נקודות קיצון (קצה).
„זוגית” – מראים $f (- x) = f (x)$ באלגברה, לא רק „לפי הגרף”.
בשורש: $a f^{'} (x)$ – הסימן של $a$ קובע אם צריך $f^{'} \geq 0$ או $f^{'} \leq 0$ .

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355719 / 10

בס״דחדו״א – פונקציות טריגונומטריות · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

האם $h (x) = x sin x$ (בתחום $- π \leq x \leq π$ ) זוגית או אי־זוגית?
פתרו $cos x = - \frac{1}{2}$ בתחום $0 \leq x \leq 2 π$ .
$f (x) = x + 2 cos x$ בתחום $0 \leq x \leq π$ . מצאו את שיעורי ה־ $x$ של נקודות הקיצון הפנימיות וקבעו את סוגן.
חשבו: $\int_{0}^{\frac{π}{2}} cos x d x$
גזרו: $y = tan 2 x$

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$(- x) sin (- x) = x sin x$ ← זוגית
$x = \frac{2 π}{3}$ או $x = \frac{4 π}{3}$
$f^{'} (x) = 1 - 2 sin x = 0$
$x = \frac{π}{6}$ מקסימום, $x = \frac{5 π}{6}$ מינימום
$sin \frac{π}{2} - sin 0 = 1$
$\frac{2}{c o s ^{2} 2 x}$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557110 / 10

› לכל המצגות