בגרות קיץ תשפ״ג (2023) – מועד ב׳

המכנה מתאפס כאשר $x=4$, ולכן תחום ההגדרה:

תשובה: $x\ne 4$

אסימפטוטה אנכית: ב־$x=4$ המכנה מתאפס, והמונה שם הוא $16-a^2$. נתון $0<a<4$, ולכן $16-a^2\ne 0$:

אסימפטוטה אופקית: המונה והמכנה ממעלה 2, והמקדמים של $x^2$ בשניהם הם 1:

תשובה: $x=4$
$y=1$

עם ציר ה־$x$: נציב $y=0$:

שתי הנקודות בתחום, כי $a\ne 4$. הנקודות: $(a,0)$ ו־$(-a,0)$.

עם ציר ה־$y$: נציב $x=0$:

הנקודה: $\left(0,-\frac{a^2}{16}\right)$.

תשובה: $(a,0)$
$(-a,0)$
$\left(0,-\frac{a^2}{16}\right)$

נגזור לפי נגזרת המנה:

המונה:

והמכנה $(x-4{)}^4$.

נצמצם את המונה והמכנה בגורם $x-4$:

נתון $0<a<4$, ולכן:

המונה חיובי משמאל ל־$\frac{a^2}{4}$ ושלילי מימין לו. המכנה שלילי משמאל ל־4 וחיובי מימין לו. טבלת סימנים:

בנקודה $x=\frac{a^2}{4}$ יש מינימום.

תשובה: $x=\frac{a^2}{4}$ – מינימום

נאסוף את הנתונים מתת־סעיפים 1–4:

• אסימפטוטות: $x=4$ ו־$y=1$.
• חיתוך עם הצירים: $(-a,0)$, $(a,0)$ ו־$\left(0,-\frac{a^2}{16}\right)$.
• מינימום בנקודה שבה $x=\frac{a^2}{4}$, בין 0 ל־$a$.
• משמאל לאסימפטוטה: יורדת עד המינימום ואז עולה לכיוון $+\infty$.
• מימין לאסימפטוטה: יורדת מ־$+\infty$ לכיוון $y=1$.

הסקיצה איכותית: היא נבנתה רק מהנתונים שמצאנו בתת־סעיפים 1–4, התקפים לכל $0<a<4$, בלי להציב ערך מספרי במקום הפרמטר $a$.

תשובה: שני ענפים.
אסימפטוטות: $x=4$, $y=1$.
מינימום בין 0 ל־$a$.

נחשב את ההפרש בין הפונקציות בתחום ההגדרה המשותף $x\ne 4$:

המונה חיובי, כי $a\ne 0$. המכנה חיובי, כי $x\ne 4$. לכן:

לכל $x$ בתחום, כלומר גרף $g$ נמצא כולו מעל גרף $f$.

תשובה: הוכחה: $g(x)-f(x)=\frac{a^2}{(x-4{)}^2}>0$

לפי ב (1), בתחום $0\le x\le 1$ גרף $g$ מעל גרף $f$, ולכן:

פונקציה קדומה:

תשובה: $S=\frac{a^2}{12}$

הביטוי שבתוך השורש נמצא במכנה, ולכן הוא חייב להיות חיובי:

זו פרבולה "מחייכת" שאפסיה $-1$ ו־$0$, והיא חיובית מחוץ לקטע שביניהם:

תשובה: $x<-1$
או $x>0$

חיתוך עם ציר ה־$y$: צריך $x=0$, אבל $x=0$ אינו בתחום ההגדרה – אין חיתוך.

חיתוך עם ציר ה־$x$: צריך $f(x)=0$, כלומר המונה $2x=0$, ושוב $x=0$ – לא בתחום. אין חיתוך.

הגרף אינו חותך את הצירים.

תשובה: לא. הנקודה היחידה האפשרית היא $x=0$, והיא אינה בתחום ההגדרה.

אסימפטוטה אנכית: נבדוק מה קורה ליד $x=-1$, משמאל:

לכן הישר $x=-1$ הוא אסימפטוטה אנכית.

ליד $x=0$, מימין, גם המונה וגם המכנה שואפים ל־0. עבור $x>0$ אפשר לצמצם:

לכן $x=0$ אינו אסימפטוטה: הגרף מתקרב לנקודה $(0,0)$, שאינה שייכת לו.

אסימפטוטות אופקיות: נוציא $|x|$ מהשורש:

כאשר $x\to +\infty$, $|x|=x$:

כאשר $x\to -\infty$, $|x|=-x$:

האסימפטוטות: $x=-1$, ו־$y=2$ מימין, ו־$y=-2$ משמאל.

תשובה: $x=-1$
$y=2$
$y=-2$

נגזור לפי נגזרת המנה:

נכפיל מונה ומכנה ב־$\sqrt{x^2+x}$:

המכנה חיובי בכל תחום ההגדרה, ולכן סימן $f^{\prime }(x)$ הוא סימן $x$:

עולה ב־$x>0$, יורדת ב־$x<-1$. אין נקודות קיצון.

תשובה: עולה: $x>0$
יורדת: $x<-1$

נאסוף את הנתונים מסעיף א:

• הענף השמאלי, בתחום $x<-1$, יורד מהאסימפטוטה $y=-2$ אל $-\infty$ ליד $x=-1$.
• הענף הימני, בתחום $x>0$, עולה מהנקודה הריקה $(0,0)$ ומתקרב ל־$y=2$.
• אין חיתוך עם הצירים ואין קיצון.

תשובה: ענף שמאלי: יורד מ־$y=-2$ אל $x=-1$.
ענף ימני: עולה מ־$(0,0)$, לא כולל, אל $y=2$.

נקרא מהסקיצה את הקעירות של $f$ (נתון שאין נקודות פיתול):

• ב־$x<-1$ הגרף יורד ונעשה תלול יותר ויותר – הנגזרת $f^{\prime }$ יורדת, ולכן $f$ קעורה כלפי מטה ו־$f^{\prime \prime }(x)<0$.
• ב־$x>0$ הגרף עולה ונעשה שטוח יותר ויותר – הנגזרת $f^{\prime }$ יורדת, ולכן $f$ קעורה כלפי מטה ו־$f^{\prime \prime }(x)<0$.
• כאשר $x\to \pm \infty$ הגרף של $f$ מתקרב לאסימפטוטה אופקית, ולכן $f^{\prime \prime }(x)\to 0$.

הגרף המתאים הוא גרף שבו $f^{\prime \prime }(x)$ שלילית בשני הענפים (מתחת לציר ה־$x$) ושואפת ל־0 באינסוף – גרף I.

תשובה: גרף I.
$f$ קעורה כלפי מטה בשני הענפים, ולכן $f^{\prime \prime }(x)<0$.

בתחום $1\le x\le 2$ גרף I נמצא מתחת לציר, כלומר $f^{\prime \prime }(x)<0$. לכן:

לפי הנגזרת מסעיף א (4):

תשובה: $S=\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}}{18}\approx 0.217$