בגרות קיץ תשפ״ד (2024) – מועד ב׳

נוכיח באינדוקציה שלכל $n$ טבעי:

בדיקה עבור $n=1$: באגף שמאל ובאגף ימין:

הנחה: נניח שהטענה נכונה עבור $n=k$:

צעד: נוכיח עבור $n=k+1$, כלומר צריך להראות:

לפי ההנחה, סכום $k$ המחוברים הראשונים הוא $\frac{k}{k+1}$, ולכן אגף שמאל שווה ל:

קיבלנו את אגף ימין, ולכן לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל $n$ טבעי.

תשובה: הוכחה באינדוקציה: בדיקה, הנחה וצעד.

מספיק למצוא ערך אחד של $n$ שעבורו השוויון אינו מתקיים. נבדוק $n=2$. באגף שמאל:

ובאגף ימין:

התוצאות שונות, ולכן הטענה אינה נכונה לכל $n$ טבעי.

(עבור $n=1$ השוויון דווקא מתקיים, אבל דוגמה נגדית אחת מספיקה כדי להפריך.)

תשובה: לא. דוגמה נגדית: עבור $n=2$ אגף שמאל הוא 8 ואגף ימין $\frac{3}{2}$.

נסמן ב־$R$ את רדיוס המעגל $O$ (החוסם את המשולש $ABC$). אז $OA=OB=R$.

במשולש $ABC$, לפי משפט הסינוסים:

הזווית $\angle AOB$ היא זווית מרכזית הנשענת על אותה קשת כמו הזווית ההיקפית $\angle ACB=\alpha$, ולכן:

במשולש $AOB$ נסמן ב־$r$ את רדיוס המעגל החוסם אותו. לפי משפט הסינוסים:

תשובה: $2\cos \alpha$

נמצא את $\alpha$ מהנתון:

תשובה: הוכחה: $\alpha =45^{\circ }$, ולכן $AC$ קוטר במעגל $O$ ועובר דרך $O$.

שימוש באי־זוגיות: הגרף של פונקציה אי־זוגית סימטרי ביחס לראשית.

• יש מינימום ב־$x=-\frac{1}{2}$, ולכן יש מקסימום ב־$x=\frac{1}{2}$. אין נקודת קיצון נוספת (לכל קיצון היה „בן זוג” סימטרי).
• הפונקציה מתאפסת ב־$x=1$, ולכן היא מתאפסת גם ב־$x=-1$.
• פונקציה אי־זוגית רציפה עוברת בראשית.

נקודות החיתוך עם ציר ה־$x$:

עלייה וירידה: יורדת עד המינימום ב־$-\frac{1}{2}$, עולה עד המקסימום ב־$\frac{1}{2}$, ויורדת אחריו.

תשובה: סקיצה:

נתון $g^{\prime }(x)=-f(x)$. לכן $g^{\prime }$ מתאפסת בדיוק היכן ש־$f$ מתאפסת:

הסימן של $g^{\prime }$ הפוך לסימן של $f$:

נתון $g(1)=2$, ו־$g$ זוגית, ולכן גם $g(-1)=2$.

תשובה: $(1,2)$ ו־$(-1,2)$

טענה I: המקסימום של $g$ הוא ב־$x=0$. בין $0$ ל־$1$ הפונקציה $g$ יורדת (סעיף ג (2)), ולכן:

שיעור ה־$y$ של נקודת המקסימום גדול מ־2 — הטענה אינה נכונה.

טענה II: משמאל ל־$-1$ הפונקציה יורדת אל המינימום $g(-1)=2$, ומימין ל־$1$ היא עולה מהמינימום $g(1)=2$. בין $-1$ ל־$1$ הערכים גדולים מ־2. לכן לכל $x$:

הטענה נכונה.

תשובה: I – לא נכונה; II – נכונה.

לפי הגרף ל־$f$ יש ארבע נקודות חיתוך עם ציר ה־$x$: שתיים שליליות ושתיים חיוביות, והגרף חותך את ציר ה־$y$ מעל ציר ה־$x$.

I: פולינום ממעלה 3 — יש לו לכל היותר 3 אפסים. לא מתאים.

II: מתאפס ב־$x=0$, אבל הגרף לא עובר בראשית. לא מתאים.

IV: האפסים:

שלושה שליליים ואחד חיובי. לא מתאים.

III: האפסים:

שניים שליליים ושניים חיוביים ✓. בדיקה בציר ה־$y$:

תשובה: ביטוי III

הפונקציה $g(x)=\sqrt{f(x)}$ מוגדרת רק כאשר הביטוי שבתוך השורש אינו שלילי, כלומר:

לפי הגרף והאפסים מסעיף ד (1), $f$ אינה שלילית משמאל ל־$-6$, בין $-3$ ל־$1$, ומימין ל־$4$:

תשובה: $x\le -6$
או $-3\le x\le 1$
או $x\ge 4$

ל־$g=\sqrt{f}$ אותם אפסים כמו ל־$f$, והיא עולה ויורדת יחד עם $f$ (השורש פונקציה עולה). לכן:

• משמאל ל־$-6$: $g$ יורדת עד $(-6,0)$.
• בין $-3$ ל־$1$: „קשת” מ־$(-3,0)$ עד $(1,0)$, עם מקסימום מעל נקודת המקסימום של $f$.
• מימין ל־$4$: $g$ עולה מ־$(4,0)$.

(בסקיצה: המקסימום של $f$ הוא $f(-1)=100$, ולכן $g(-1)=10$.)

תשובה: סקיצה:

נפצל את האינטגרל לשני חלקים:

הגרף של $g(x-1)$ הוא הגרף של $g(x)$ מוזז יחידה אחת ימינה, ולכן השטח מתחתיו בין $5$ ל־$8$ שווה לשטח מתחת ל־$g$ בין $4$ ל־$7$:

לכן:

תשובה: $2k+3$