בגרות חורף תשפ״ג (2023)

ציר ה־$x$: נפתור $f(x)=0$:

ציר ה־$y$: $f(0)=0$ — זו אותה נקודה, הראשית.

תשובה: $(0,0)$ ו־$(-1,0)$

הגורם $(x+1{)}^2$ חיובי לכל $x$ שונה מ־$-1$, ולכן הסימן של $f$ נקבע לפי $x^n$.

כאשר $n$ זוגי: החזקה $x^n$ חיובית לכל $x$ שונה מ־0. לכן $f$ חיובית בכל מקום פרט לנקודות $x=-1$ ו־$x=0$, ואין תחום שלילי.

כאשר $n$ אי־זוגי: הסימן של $x^n$ כסימן של $x$. לכן $f$ חיובית מימין לראשית, ושלילית משמאל לה (פרט לנקודה $x=-1$).

תשובה: כאשר $n$ זוגי:
חיובית לכל $x$ פרט ל־$0$ ול־$-1$
אין תחום שלילי
כאשר $n$ אי־זוגי:
חיובית: $x>0$
שלילית: $x<0,x\ne -1$

נגזור לפי כלל המכפלה:

הנגזרת מתאפסת ב־$x=0$, ב־$x=-1$, וב:

(נקודה זו בין $-1$ ל־$0$.)

כאשר $n$ זוגי: החזקה $n-1$ אי־זוגית, ולכן הסימן של $x^{n-1}$ כסימן של $x$.

כאשר $n$ אי־זוגי: החזקה $n-1$ זוגית, ולכן $x^{n-1}$ אינו שלילי ואינו מחליף סימן ב־0.

תשובה: כאשר $n$ זוגי:
מינימום: $x=-1,x=0$
מקסימום: $x=-\frac{n}{n+2}$
כאשר $n$ אי־זוגי:
מקסימום: $x=-1$
מינימום: $x=-\frac{n}{n+2}$

כאשר $n$ זוגי: לפי סעיפים ב ו־ג, הגרף לא יורד מתחת לציר ה־$x$, ויש לו שני מינימומים (ב־$-1$ וב־$0$) ומקסימום ביניהם — גרף III.

כאשר $n$ אי־זוגי: הגרף שלילי משמאל לראשית וחיובי מימינה. יש לו מקסימום ב־$x=-1$ (נוגע בציר), מינימום ביניהם, ובראשית שיפוע אפס בלי קיצון — גרף II.

(בגרף I הגרף חוצה את הציר בראשית בשיפוע שאינו אפס. זה קורה רק כאשר $n=1$, וזה לא אפשרי כאן.)

תשובה: כאשר $n$ זוגי: גרף III
כאשר $n$ אי־זוגי: גרף II

הגרף של $g(x)=a\cdot f(x-2)$ מתקבל מהגרף של $f$ בהזזה של 2 ימינה ובמתיחה פי $a$ בכיוון ציר ה־$y$.

הזזה אינה משנה שטח, ומתיחה פי $a$ מכפילה כל שטח ב־$a$. לכן אם $S$ הוא השטח בין הגרף של $f$ לציר ה־$x$:

תשובה: $\frac{T}{a}$

נבדוק כל פונקציה.

הפונקציה $g$: נפרק את המונה $x^2-1=(x-1)(x+1)$. עבור $x\ne -1$:

ב־$x=-1$ אין אסימפטוטה (רק „חור”). יש אסימפטוטה אנכית אחת, $x=-2$, ואסימפטוטה אופקית $y=1$ ✓.

הפונקציה $h$: עבור $x\ne 0$:

מעלת המונה גדולה ממעלת המכנה — אין אסימפטוטה אופקית ✗.

הפונקציה $k$: המכנה $x^2(x+2)$ מתאפס ב־$x=0$ וב־$x=-2$, והמונה $x^3-1$ לא מתאפס שם — שתי אסימפטוטות אנכיות ✗.

תשובה: $g(x)$

לפי סעיף א, $g(x)=\frac{x-1}{x+2}$ עבור $x\ne -1$:

אנכית: המכנה מתאפס ב־$x=-2$. אופקית: המעלות שוות, ויחס המקדמים המובילים הוא $\frac{1}{1}=1$.

תשובה: אנכית: $x=-2$
אופקית: $y=1$

ציר ה־$x$:

ציר ה־$y$:

תשובה: $(1,0)$ ו־$\left(0,-\frac{1}{2}\right)$

• $g(x)=\frac{x-1}{x+2}=1-\frac{3}{x+2}$, ולכן $g$ עולה בכל אחד מתחומי ההגדרה: $x<-2$, $-2<x<-1$ ו־$x>-1$ (הנקודה $x=-1$ אינה בתחום ההגדרה).
• אסימפטוטות: $x=-2$ ו־$y=1$.
• חיתוך עם הצירים: $(1,0)$ ו־$\left(0,-\frac{1}{2}\right)$.
• $x=-1$ לא בתחום ההגדרה: בגרף יש „חור” בנקודה $(-1,-2)$.

תשובה: סקיצה:

לנקודה $A$ שיעור $x$ שהוא $t$, ושיעור $y$ שהוא $g(t)$. בתחום הנתון המונה $t-1$ שלילי והמכנה $t+2$ חיובי, ולכן $g(t)$ שלילי: הנקודה $A$ מתחת לציר ה־$x$.

רוחב המלבן — מהאסימפטוטה $x=-2$ עד $A$:

גובה המלבן — מציר ה־$x$ עד $A$:

ההיקף:

נגזור (נגזרת המנה בחלק השני):

בתחום $t+2$ חיובי, ולכן:

הנגזרת שלילית משמאל לנקודה וחיובית מימינה, ולכן זו נקודת מינימום.

תשובה: $t=\sqrt{3}-2\approx -0.27$