בגרות חורף תשפ״ד (2024)

האיבר הכללי $6n(n+2)$ מופיע רק עבור $n$ זוגי: $n=2$ נותן $48$, $n=4$ נותן $144$, $n=6$ נותן $288$. לכן ההוכחה באינדוקציה היא בקפיצות של 2.

בדיקה עבור $n=2$:

הנחה: נניח שהטענה נכונה עבור $n=k$ זוגי:

צעד: נוכיח עבור המספר הזוגי הבא, $n=k+2$:

לפי ההנחה, אגף שמאל שווה ל־

הוצאנו גורם משותף $(k+2)(k+4)$. זה בדיוק אגף ימין, ולכן הטענה נכונה לכל $n$ טבעי זוגי.

תשובה: הוכחה באינדוקציה: בדיקה ל־$n=2$, וצעד מ־$k$ ל־$k+2$ בעזרת גורם משותף $(k+2)(k+4)$.

תשובה: הוכחה: זווית משותפת $A$ ו־$\angle AED=\angle ABC$ (זווית חיצונית למרובע חסום), לכן $△AED\sim △ABC$ לפי ז.ז.

נסמן $CE=x$. אז:

מהדמיון $△AED\sim △ABC$:

תשובה: $\frac{AB}{AC}=2$

במרובע החסום $BCED$ סכום זוויות נגדיות הוא $180^{\circ }$:

במשולש $ABC$: $AB=6x$, $AC=3x$, $\angle B=30^{\circ }$. לפי משפט הסינוסים:

כלומר $\angle BCE=90^{\circ }$. זווית היקפית בת $90^{\circ }$ נשענת על קוטר, ולכן $BE$ הוא קוטר.

תשובה: כן: $\angle BCE=90^{\circ }$, וזווית היקפית ישרה נשענת על קוטר

לפי הגרף: יש שתי אסימפטוטות אנכיות – הפונקציה לא מוגדרת סביב $x=0$, ושתי אסימפטוטות אופקיות שונות.

• בביטויים I ו־III המכנה $\sqrt{x^2+16}$ מוגדר וחיובי לכל $x$, ולכן אין להם אסימפטוטות אנכיות. נפסלים.
• בביטוי IV: כש־$x\to \pm \infty$, $\frac{x^2}{\sqrt{x^2-16}}\approx \frac{x^2}{|x|}=|x|\to \infty$ – אין אסימפטוטה אופקית. נפסל.
• בביטוי II: תחום $x<-4$ או $x>4$, אסימפטוטות אנכיות $x=\pm 4$, ו־

כלומר $y=1$ מימין ו־$y=-1$ משמאל – בדיוק כמו בגרף.

תשובה: ביטוי II: $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-16}}$

$g^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-16}}+\frac{5}{3}$, בתחום $x<-4$ או $x>4$.

עבור $x>4$: $f(x)>0$, ולכן $g^{\prime }(x)>0$ – $g$ עולה.

עבור $x<-4$: נמצא היכן $g^{\prime }(x)=0$:

אגף שמאל שלילי כאן, נעלה בריבוע:

הפתרון $x=5$ נפסל, כי עבורו $f>0$ – לפי הגרף, בתחום $x<-4$ הפונקציה $f$ יורדת מ־$-1$ אל $-\infty$, ולכן:.

בדיקה:

תשובה: עולה: $x<-5$, $x>4$
יורדת: $-5<x<-4$

בנקודות הקיצון של $f$ הנגזרת מתאפסת. לגרף II יש נקודות קיצון $A$, $B$, $C$, ובדיוק בשיעורי ה־$x$ שלהן גרף I חותך את ציר $x$.

בנוסף: היכן ש־II עולה – משמאל ל־$A$, בין $B$ ל־$C$ – גרף I חיובי, והיכן ש־II יורד גרף I שלילי. לכן I הוא גרף הנגזרת, ו־II הוא גרף הפונקציה.

תשובה: גרף II מתאר את $f(x)$; גרף I הוא $f^{\prime }(x)$

בנקודת פיתול של $f$ הנגזרת $f^{\prime }$ משנה כיוון – כלומר יש ל־$f^{\prime }$ (גרף I) נקודת קיצון.

לגרף I יש שלוש נקודות קיצון: מינימום ליד ציר $y$, מקסימום בין $B$ ל־$C$, ומינימום מימין ל־$C$. לכן ל־$f$ יש 3 נקודות פיתול.

תשובה: 3 נקודות פיתול

השטח המקווקו מורכב משני חלקים: בין $x_A$ ל־$x_B$ גרף I מתחת לציר, ובין $x_B$ ל־$x_C$ מעליו. $f$ היא פונקציה קדומה של $f^{\prime }$:

נתון שהשטח הכולל 7:

תשובה: $y_C=5$