בגרות קיץ תשפ״ב (2022) – מועד א׳

נוכיח באינדוקציה ש־$4^n-1$ מתחלק ב־3 לכל $n$ טבעי.

בדיקה עבור $n=1$: $4^1-1=3$, מתחלק ב־3 ✓

הנחה: נניח שעבור $n=k$ המספר $4^k-1$ מתחלק ב־3, כלומר $4^k-1=3m$ עבור $m$ שלם.

צעד: נוכיח עבור $n=k+1$:

לפי ההנחה $4(4^k-1)=4\cdot 3m=12m$, ולכן:

זהו מספר שמתחלק ב־3, ולכן הטענה נכונה לכל $n$ טבעי.

תשובה: הוכחה באינדוקציה. בצעד האינדוקציה:
$4^{k+1}-1=4(4^k-1)+3$
ושני המחוברים מתחלקים ב־3.

נכתוב את הביטוי בעזרת $4^n-1$:

לפי סעיף א (1), $4^n-1$ מתחלק ב־3, ולכן $4(4^n-1)$ מתחלק ב־12 לכל $n$. מספיק לבחור $p$ כך ש־$4+p$ יתחלק ב־12, למשל:

בדיקה: עבור $n=1$: $16+8=24$; עבור $n=2$: $64+8=72$ – שניהם מתחלקים ב־12.

תשובה: לדוגמה $p=8$.
מתאים כל $p$ שעבורו $p+4$ מתחלק ב־12.

נגזור לפי כלל השרשרת, עם ${\left(-\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{x^2}$:

מה אפשר ללמוד מהביטוי:

• $f^{\prime }(x)\ge 0$ לכל $x\ne 0$ – הגרף לא יורד מתחת לציר $x$. לכן גרף ב נפסל.
• $f^{\prime }(x)=0$ רק ב־$x=\frac{1}{2}$ – הגרף נוגע בציר $x$ מימין לציר $y$.
• עבור $x$ גדול מאוד הגרף מתקרב לציר $x$, כי:

בגרף א הגרף עולה מימין ולא מתקרב ל־0, ולכן נפסל.

לכן גרף ג מתאר את $f^{\prime }(x)$.

תשובה: גרף ג

בנקודת פיתול של $f$ הנגזרת $f^{\prime }$ עוברת מעלייה לירידה או להפך, כלומר יש לה נקודת קיצון. בגרף ג רואים שתי נקודות קיצון של $f^{\prime }$: מינימום ב־$x=\frac{1}{2}$, שבו הגרף נוגע בציר, ומקסימום מימינו. לכן ל־$f$ יש 2 נקודות פיתול.

אפשר לוודא בחישוב:

$f^{\prime \prime }$ מתאפסת ומחליפה סימן ב־$x=\frac{1}{2}$ וב־$x=1$. הנקודות הן $\left(\frac{1}{2},0\right)$ ו־$(1,1)$.

תשובה: 2 נקודות פיתול: $\left(\frac{1}{2},0\right)$ ו־$(1,1)$

$h(t)$ הוא השטח „המכוון” בין גרף $f$ לציר $x$ מ־0 עד $t$: שטח מעל הציר נספר בחיוב, ושטח מתחת לציר בשלילה.

מ־0 עד 3 הגרף מעל הציר. נחלק לשלושה חלקים:

• $0\le x\le 1$: מלבן $1\times 2$, שטח 2.
• $1\le x\le 2$: טרפז עם בסיסים 2 ו־4 וגובה 1, שטח $\frac{2+4}{2}=3$.
• $2\le x\le 3$: משולש עם בסיס 1 וגובה 4, שטח 2.

מ־3 עד 5 הגרף מתחת לציר: משולש עם בסיס 2 וגובה 2, שטח 2:

תשובה: $h(0)=0$, $h(3)=7$, $h(5)=5$

$h(t)$ היא פונקציה קדומה של $f$, כלומר $h^{\prime }(t)=f(t)$. לכן $h$ יורדת היכן ש־$f(t)<0$, כלומר היכן שהגרף מתחת לציר $x$. לפי הסרטוט זה קורה בתחום:

תשובה: $3<t<7$, כי שם $h^{\prime }(t)=f(t)<0$

נסמן: $D$ – מפגש המשיקים ב־$A$ וב־$C$, $E$ – מפגש המשיקים ב־$A$ וב־$B$, $F$ – מפגש המשיקים ב־$B$ וב־$C$, כמו בסרטוט.

זוויות הבסיס במשולש שווה השוקיים $ABC$:

הזווית $D$. לפי משפט הזווית בין משיק למיתר: $\angle DAC=\angle ABC=90^{\circ }-\alpha$. שני משיקים היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה, $DA=DC$, ולכן גם $\angle DCA=90^{\circ }-\alpha$:

הזווית $E$. באותו אופן: $\angle EAB=\angle ACB=90^{\circ }-\alpha$ ו־$EA=EB$, ולכן:

הזווית $F$, מסכום הזוויות במשולש $DEF$:

תשובה: $\angle D=\angle E=2\alpha$
$\angle F=180^{\circ }-4\alpha$