בגרות קיץ תשפ״ד (2024) – מועד א׳

נוכיח שלכל $n$ טבעי:

שלב 1 – בדיקה עבור $n=1$:

האגפים שווים, ולכן הטענה נכונה עבור $n=1$.

שלב 2 – הנחה: נניח שהטענה נכונה עבור $n=k$:

שלב 3 – צעד: נוכיח שהטענה נכונה עבור $n=k+1$. האיבר ה־$(k+1)$ הוא:

וצריך להוכיח שהסכום שווה ל:

לפי ההנחה, הסכום עד האיבר ה־$k$ הוא $\frac{k(k+1)(5k+7)}{6}$, ולכן אגף שמאל שווה ל:

נפרק את הטרינום:

ולכן:

קיבלנו את אגף ימין. לפי עקרון האינדוקצייה, השוויון נכון לכל $n$ טבעי.

תשובה: הוכחה באינדוקצייה מתמטית: בדיקה, הנחה וצעד.

$f^{\prime }(x)$ עולה כאשר הנגזרת שלה, $f^{\prime \prime }(x)$, חיובית, ויורדת כאשר $f^{\prime \prime }(x)$ שלילית. לפי הגרף של $f^{\prime \prime }$:

• $f^{\prime \prime }(x)>0$ ‏(‏הגרף מעל ציר ה־$x$‏)‏: כאשר $x<a$, וכאשר $b<x<d$.
• $f^{\prime \prime }(x)<0$ ‏(‏הגרף מתחת לציר ה־$x$‏)‏: כאשר $a<x<0$, כאשר $0<x<b$, וכאשר $x>d$.

תשובה: עלייה: $x<a$ וגם $b<x<d$
ירידה: $a<x<0$, $0<x<b$ וגם $x>d$

נקודות קיצון: $h^{\prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)-e$, כלומר הסימן של $h^{\prime }$ נקבע לפי המיקום של גרף $f^{\prime \prime }$ ביחס לישר $y=e$.

• בענף השמאלי ‏(‏$x<0$‏)‏: $f^{\prime \prime }$ יורדת מערכים גדולים מאוד, ולכן היא חותכת את הישר $y=e$ בנקודה אחת, נסמן אותה $x_0$ ‏(‏כאשר $x_0<a$‏)‏. משמאל ל־$x_0$: $f^{\prime \prime }>e$, ולכן $h^{\prime }>0$; מימין ל־$x_0$: $f^{\prime \prime }<e$, ולכן $h^{\prime }<0$. לכן ב־$x_0$ יש ל־$h$ נקודת מקסימום.
• בענף הימני ‏(‏$x>0$‏)‏: הערך הגדול ביותר של $f^{\prime \prime }$ הוא $e$ ‏(‏בנקודה $x=c$‏)‏, ולכן $h^{\prime }(x)\le 0$, ו־$h^{\prime }=0$ רק ב־$x=c$. הנגזרת אינה מחליפה סימן, ולכן ב־$x=c$ אין נקודת קיצון.

נקודות פיתול: $h^{\prime \prime }(x)=f^{\prime \prime \prime }(x)$. נקודת פיתול של $h$ היא נקודה שבה $h^{\prime \prime }$ מחליפה סימן, כלומר נקודת קיצון של $h^{\prime }$ ‏(‏ושל $f^{\prime \prime }$‏)‏.

• בענף השמאלי $f^{\prime \prime }$ יורדת כל הזמן – אין שם נקודת פיתול.
• בענף הימני $f^{\prime \prime }$ עולה עד $x=c$ ואחר כך יורדת, ולכן ב־$x=c$ יש ל־$h$ נקודת פיתול ‏(‏עם משיק אופקי, כי $h^{\prime }(c)=0$‏)‏.

תשובה: ל־$h$ נקודת קיצון אחת ‏(‏מקסימום‏)‏ ונקודת פיתול אחת.

הגרף של $f(x)+m$ הוא הגרף של $f$ מוזז $m$ יחידות למעלה. נקודת המינימום שלו:

כיוון ש־$0<m<2$, מתקיים $-3+m<0$, כלומר המינימום נמצא מתחת לציר ה־$x$.

הערך המוחלט „משקף” את החלק שמתחת לציר ה־$x$ אל מעליו, ולכן נקודת המינימום הופכת לנקודת מקסימום של $g$:

תשובה: נקודת המקסימום: $(0,3-m)$

נבנה את $|f(x)|$: החלק של הגרף שמתחת לציר ה־$x$ ‏(‏בין $-5$ ל־$5$‏)‏ משתקף מעל הציר. לכן:

• $(0,-3)$ הופכת לנקודת מקסימום $(0,3)$.
• $(-5,0)$ ו־$(5,0)$ הופכות לנקודות מינימום ‏(‏הגרף נוגע בציר ויוצא ממנו כלפי מעלה‏)‏.

$h(x)=|f(x)|+m$ היא הזזה של $m$ יחידות למעלה:

תשובה: מקסימום $(0,3+m)$; מינימום $(-5,m)$ ו־$(5,m)$

טענה I: $h(x)=|f(x)|+m\ge m>0$, ולכן $h$ חיובית לכל $x$. לעומת זאת $g(x)=|f(x)+m|$ מתאפסת כאשר $f(x)=-m$. כיוון ש־$-3<-m<0$, למשוואה הזו יש שני פתרונות ‏(‏הישר $y=-m$ חותך את גרף $f$ פעמיים‏)‏. לכן $g$ אינה חיובית לכל $x$. טענה I אינה נכונה.

טענה II: נבדוק את הפונקצייה $h$. ערך המינימום שלה $m$ וערך המקסימום המקומי $3+m$, ומתקיים:

לכן הישר $y=m+\frac{1}{2}$ חותך את גרף $h$ בארבע נקודות ‏(‏שתיים ליד כל נקודת מינימום‏)‏, ולא בשלוש. טענה II אינה נכונה.

‏(‏גם עבור $g$: שלוש נקודות חיתוך מתקבלות רק אם הישר עובר דרך המקסימום, כלומר $m+\frac{1}{2}=3-m$, $m=1.25$, ולא לכל $m$.‏)‏

תשובה: טענה I אינה נכונה; טענה II אינה נכונה.

תשובה: הוכחה: $\angle ACD=\angle AFB=90^{\circ }$ ו־$\angle ADC=\angle ABF$, ולכן הדמיון לפי ז.ז.

לפי הדמיון בסעיף הקודם, הצלע $AD$ ‏(‏מול הזווית הישרה $C$‏)‏ מתאימה לצלע $AB$ ‏(‏מול הזווית הישרה $F$‏)‏. יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון:

במשולש $ABD$: $\angle ABD=90^{\circ }$ ‏(‏זווית היקפית הנשענת על הקוטר $AD$‏)‏. לכן:

ולכן:

תשובה: היחס: $\frac{1}{{\sin }^{2}24^{\circ }}\approx 6.045$