בגרות קיץ תשפ״ה (2025) – מועד ב׳

נסמן את הטענה:

שלב 1 – בדיקה עבור $n=1$:

שני האגפים שווים, ולכן הטענה נכונה עבור $n=1$.

שלב 2 – הנחה: נניח שהטענה נכונה עבור $n=k$:

שלב 3 – צעד: נוכיח שהטענה נכונה עבור $n=k+1$, כלומר:

האיבר ה־$(k+1)$ בסדרה הוא:

לפי ההנחה, סכום $k$ האיברים הראשונים שווה ל:

לכן אגף שמאל:

קיבלנו את אגף ימין. לכן אם הטענה נכונה עבור $n=k$ היא נכונה גם עבור $n=k+1$, ולפי עקרון האינדוקציה היא נכונה לכל $n$ טבעי.

תשובה: הוכחה באינדוקציה: בדיקה, הנחה וצעד.

נסמן $BM=EM=m$.

במשולש $EDM$: נתון $AD\perp ED$, ולכן המשולש ישר־זווית והזווית $D$ ישרה:

במשולש $ABM$: נתון $AB\perp BM$, ולכן המשולש ישר־זווית והזווית $B$ ישרה.

הזוויות $AMB$ ו־$EMD$ קודקודיות, ולכן $\angle AMB=\alpha$:

נתון $AM=2.5\cdot DM$:

הזווית $\alpha$ חדה, ולכן הקוסינוס חיובי:

תשובה: $\alpha \approx 50.77^{\circ }$

מסעיף 1 ${\cos }^2\alpha =0.4$, ולכן:

אורך $BM$: במשולש $EDM$:

ולכן $BM=EM=2\sqrt{10}$.

אורך $AM$:

אורך $BC$: במרובע $BCDM$ כל שתי צלעות נגדיות מקבילות: $BC$ מקביל ל־$MD$, כי $AD\parallel BC$, ו־$CD$ מקביל ל־$BM$, כי $CD\parallel BE$. לכן $BCDM$ מקבילית, וצלעות נגדיות בה שוות:

גובה הטרפז: נוריד גובה $BH$ מ־$B$ לבסיס $AD$. במשולש ישר־הזווית $BHM$:

שטח הטרפז:

תשובה: $S_{ABCD}=18\sqrt{6}\approx 44.09$

נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה־$x$:

לכן הגרפים I ו־IV (שחותכים את הציר ב־$x=0$ ובנקודה חיובית) הם של $f(x)$, והגרפים II ו־III (שחותכים ב־$x=0$ ובנקודה שלילית) הם של $g(x)$.

זוגיות של $n$: שתי הפונקציות הן פולינומים ממעלה $n+1$, והמקדם המוביל שלהן הוא 1.

• אם $n$ אי־זוגי, המעלה $n+1$ זוגית: הגרף עולה לאינסוף בשני הקצוות. ליד $x=0$ הגורם $x^n$ מחליף סימן – הגרף חותך את הציר ב־$x=0$.
• אם $n$ זוגי, המעלה $n+1$ אי־זוגית: בקצה השמאלי הגרף יורד למינוס אינסוף. ליד $x=0$ הגורם $x^n\ge 0$ אינו מחליף סימן – הגרף משיק לציר ב־$x=0$.

מכאן:

• גרף I: של $f(x)$, שני הקצוות למעלה וחיתוך ב־$x=0$ – $n$ אי־זוגי.
• גרף II: של $g(x)$, שני הקצוות למעלה וחיתוך ב־$x=0$ – $n$ אי־זוגי.
• גרף III: של $g(x)$, הקצה השמאלי למטה ומשיק ב־$x=0$ – $n$ זוגי.
• גרף IV: של $f(x)$, הקצה השמאלי למטה ומשיק ב־$x=0$ – $n$ זוגי.

תשובה: I – $f(x)$, $n$ אי־זוגי
II – $g(x)$, $n$ אי־זוגי
III – $g(x)$, $n$ זוגי
IV – $f(x)$, $n$ זוגי

עבור $n=4$:

נקודות החיתוך עם ציר ה־$x$ הן $x=-1$ ו־$x=0$. בתחום שביניהן:

ולכן $g(x)\ge 0$ – הגרף מעל הציר, כמו בגרף III.

השטח המוגבל על ידי הגרף וציר ה־$x$:

תשובה: $\frac{1}{30}$ יחידות שטח.

הפונקציה $g$ מוגדרת כאינטגרל של $f$:

לכן את סימן הנגזרת של $g$ קוראים מהגרף הנתון של $f$.

לפי הגרף, $f(x)=0$ ב־$x=0,1,2.7,4.5$. ב־$x=2.7$ הגרף רק משיק לציר ואינו מחליף סימן.

ב־$x=2.7$ אין קיצון, כי $g^{\prime }(x)$ חיובית משני צדיה.

הנקודה $x=0$ היא קצה התחום. אחריה הפונקציה $g$ יורדת, ולכן זו נקודת מקסימום (קצה).

שיעורי ה־$x$ של נקודות הקיצון: $x=0$ מקסימום, $x=1$ מינימום, $x=4.5$ מקסימום.

תשובה: מקסימום (קצה) ב־$x=0$, מינימום ב־$x=1$, מקסימום ב־$x=4.5$.

$g(x)$ היא פונקציה קדומה של $f(x)$, ולכן לכל $a$, $b$:

השטח בין 0 ל־1: נתון $g(2.7)=0$, ולכן:

כאן השתמשנו ב־$g(0)={\int }_0^{0}f(t)dt=0$. בין 0 ל־1 הגרף מתחת לציר ובין 1 ל־2.7 מעליו, ולכן שני השטחים שווים:

השטח בין 0 ל־1 שווה ל־$S$.

השטח בין 2.7 ל־4.5 (הגרף מעל הציר):

השטח הכולל בין הגרף לציר ה־$x$ בתחום $0\le x\le 4.5$:

תשובה: $5S$