בגרות קיץ תשפ״ה (2025) – מועד א׳

נוכיח באינדוקציה שלכל $n$ טבעי:

שלב 1 – בדיקה עבור $n=1$:

האגפים שווים, ולכן הטענה נכונה עבור $n=1$.

שלב 2 – הנחה: נניח שהטענה נכונה עבור $n=k$:

שלב 3 – צעד: נוכיח שהטענה נכונה עבור $n=k+1$, כלומר:

לפי ההנחה, סכום $k$ המחוברים הראשונים שווה ל־$\frac{2k(2k+1)(k+1)}{3}$, ולכן אגף שמאל שווה ל:

נוציא גורם משותף $\frac{2(k+1)}{3}$:

קיבלנו את אגף ימין. לפי עקרון האינדוקציה המתמטית הטענה נכונה לכל $n$ טבעי.

תשובה: הוכחה באינדוקציה: בדיקה עבור $n=1$, הנחה עבור $n=k$, צעד עבור $n=k+1$.

הסכום $4^2+6^2+\cdots +100^2$ הוא הסכום מסעיף א (1) בלי המחובר הראשון $2^2$.

המחובר האחרון הוא $100^2=(2\cdot 50{)}^2$, ולכן $n=50$:

נחסיר את $2^2=4$:

תשובה: $171,696$

תשובה: הוכחה: $OA=OB$ ו־$OC=OD$, לכן $AC=BD$ – טרפז שאלכסוניו שווים הוא שווה שוקיים.

מסעיף ב (1): $OC=OD=4$ ו־$OA=OB=3$.

האלכסונים מאונכים, ולכן המשולש $ODC$ ישר זווית ושווה שוקיים. לפי משפט פיתגורס:

במשולש $BCD$: הקטע $OF$ מקביל לצלע $DC$, ולכן לפי משפט תאלס המורחב ‏(‏‏$△BOF\sim △BDC$‏)‏:

תשובה: $OF=\frac{12\sqrt{2}}{7}\approx 2.42$

נשתמש בקשר בין פונקציה לנגזרת שלה: במקום שבו לפונקציה יש משיק אופקי ‏(‏קיצון או פיתול עם משיק אופקי‏)‏, גרף הנגזרת שלה חותך או משיק לציר ה־$x$; במקום שבו הפונקציה עולה – הנגזרת חיובית, ובמקום שבו היא יורדת – הנגזרת שלילית.

• לגרף II יש נקודה אחת עם משיק אופקי משמאל ‏(‏פיתול‏)‏ ומקסימום אחד בצד החיובי. גרף III משיק לציר ה־$x$ משמאל, חיובי עד נקודה בצד החיובי ושלילי אחריה – בדיוק סימני השיפוע של II. לכן II הוא $f$ ו־III הוא $f^{\prime }$.
• לגרף III יש שלוש נקודות קיצון ‏(‏מינימום משמאל, מקסימום בצד השלילי, מינימום בצד החיובי‏)‏. לגרף I יש בדיוק שלוש נקודות חיתוך עם ציר ה־$x$, והוא שלילי במקומות שבהם III יורד וחיובי במקומות שבהם III עולה. לכן I הוא $f^{\prime \prime }$.

בדיקה נוספת בנקודה $x=0$: גרף III יורד שם, ואכן גרף I עובר שם בנקודה $(0,-2)$, מתחת לציר. גרף II עולה שם, ואכן גרף III עובר בנקודה $(0,2)$, מעל לציר.

תשובה: גרף II – $f(x)$, גרף III – $f^{\prime }(x)$, גרף I – $f^{\prime \prime }(x)$

נקודת פיתול של $f$ היא נקודה שבה $f^{\prime \prime }$ מתאפסת ומחליפה סימן.

גרף $f^{\prime \prime }$ ‏(‏גרף I‏)‏ חותך את ציר ה־$x$ שלוש פעמים, ובכל אחת מהן הוא עובר מצד לצד ‏(‏מחליף סימן‏)‏. לכן ל־$f$ יש 3 נקודות פיתול.

אפשר לראות זאת גם מגרף $f^{\prime }$ ‏(‏גרף III‏)‏: לכל נקודת קיצון של $f^{\prime }$ מתאימה נקודת פיתול של $f$, ול־$f^{\prime }$ יש 3 נקודות קיצון.

תשובה: 3 נקודות פיתול

בתחום $0\le x\le a$: גרף $f^{\prime }$ ‏(‏III‏)‏ נמצא מעל ציר ה־$x$ ‏(‏מתאפס רק ב־$x=a$, נקודת המקסימום של $f$‏)‏, וגרף $f^{\prime \prime }$ ‏(‏I‏)‏ נמצא מתחת לציר ה־$x$. לכן גרף $f^{\prime }$ נמצא מעל גרף $f^{\prime \prime }$:

פונקציה קדומה של $f^{\prime }$ היא $f$, ופונקציה קדומה של $f^{\prime \prime }$ היא $f^{\prime }$:

נציב את הנתונים מהגרפים. בנקודת המקסימום של $f$:

מגרף II ומגרף III, בנקודה $x=0$:

תשובה: $S=3$

נתון:

תחום ההגדרה – המכנה שונה מאפס:

המכנה הוא ריבוע, ולכן הוא חיובי בכל תחום ההגדרה. לכן סימן $f$ הוא סימן המונה:

מתוך $x>-1$ צריך להוציא את $x=0$, שאינו בתחום ההגדרה. לכן תחומי החיוביות:

תשובה: $-1<x<0$ או $x>0$

נסכם את סימן $f$ ואת התנהגותה ליד הנקודות שבהן היא לא מוגדרת:

ליד $x=-2$ המונה קרוב ל־$-2$ והמכנה חיובי וקרוב ל־0, ולכן הפונקציה שואפת למינוס אינסוף. ליד $x=0$ המונה קרוב ל־$2$, ולכן הפונקציה שואפת לפלוס אינסוף.

• גרף I חיובי משמאל ל־$x=-2$ – לא מתאים.
• בגרף II הפונקציה שואפת למינוס אינסוף מימין ל־$x=0$ – לא מתאים.
• בגרף IV הפונקציה שואפת לפלוס אינסוף מימין ל־$x=-2$ – לא מתאים.

גרף III מקיים את כל התכונות, ולכן הוא מתאר את $f(x)$.

תשובה: גרף III

נשים לב שהמונה הוא הנגזרת של הביטוי שבתוך הריבוע:

לכן פונקציה קדומה של $f$ היא:

‏(‏בדיקה: $F^{\prime }(x)=\frac{2x+2}{(x^2+2x{)}^2}=f(x)$.‏)‏

תשובה: $\frac{7}{24}$