בגרות קיץ תשפ״ב (2022) – מועד ב׳

הביטוי שבתוך השורש נמצא במכנה, ולכן הוא חייב להיות חיובי ממש:

תשובה: $x>-a$

כאשר $x\to -a^{+}$ המכנה $\sqrt{x+a}$ שואף ל־0. אם המונה לא שואף שם ל־0, מתקבלת אסימפטוטה אנכית $x=-a$. לכן כדי שלא תהיה אסימפטוטה, המונה חייב להתאפס ב־$x=-a$:

הפרמטר $a$ חיובי, ולכן $a=3$. בדיקה:

ואין לה אסימפטוטה אנכית. גם אסימפטוטה אופקית אין, כי $f(x)\to \infty$ כאשר $x\to \infty$.

תשובה: $a=3$

עם $a=3$: $f(x)=(x-3)\sqrt{x+3}$, בתחום $x>-3$.

ציר ה־$x$: $f(x)=0\Rightarrow x=3$ ‏(‏הערך $x=-3$ אינו בתחום‏)‏.

ציר ה־$y$:

תשובה: $(3,0)$ ו־$(0,-3\sqrt{3})$

נגזור את $f(x)=(x-3)\sqrt{x+3}$ לפי כלל המכפלה:

נשווה לאפס: $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=-1$. נציב:

תשובה: מינימום: $(-1,-4\sqrt{2})$

הגרף מתחיל ליד הנקודה $(-3,0)$ ‏(‏שאינה שייכת לגרף‏)‏, יורד עד המינימום $(-1,-4\sqrt{2})$, ואחר כך עולה, עובר דרך $(0,-3\sqrt{3})$ ו־$(3,0)$, וממשיך לעלות.

תשובה: סקיצה:

$g(x)=-f(x+2)$: צריך ש־$x+2$ יהיה בתחום של $f$:

$h(x)=|f(x)|$: אותו תחום כמו של $f$: $x>-3$.

תשובה: תחום $g$: $x>-5$
תחום $h$: $x>-3$

$g$: הגרף של $g(x)=-f(x+2)$ מתקבל מהגרף של $f$ בהזזה של 2 יחידות שמאלה ובשיקוף ביחס לציר ה־$x$. השיקוף הופך את נקודת המינימום של $f$ לנקודת מקסימום:

$h$: בקטע $-3<x<3$ מתקיים $f(x)<0$, ולכן $h(x)=-f(x)$, והמינימום של $f$ הופך למקסימום של $h$:

שיעורי ה־$y$ של שתי נקודות המקסימום שווים ל־$4\sqrt{2}$.

תשובה: שווה – בשתיהן שיעור ה־$y$ הוא $4\sqrt{2}$

בקטע $-1\le x\le 3$ מתקיים $f(x)\le 0$, ולכן $h(x)=-f(x)$:

מצד שני, נציב $u=x+2$ ‏(‏הזזה‏)‏: כאשר $x=-3$ מתקבל $u=-1$, וכאשר $x=k$ מתקבל $u=k+2$:

כלומר שני האינטגרלים הם שטחים מתחת לגרף של $-f$ החל מ־$-1$. הם שווים כאשר הגבול העליון זהה:

זה הפתרון היחיד: עד $u=3$ הפונקצייה $-f$ חיובית, ולכן האינטגרל עולה ממש; אחרי $u=3$ הפונקצייה $-f$ שלילית, והאינטגרל קטן מהערך שהתקבל ב־$u=3$.

תשובה: $k=1$

הנקודה $B(t,t^3+4t^2)$. השיפוע:

משוואת המשיק:

תשובה: $y=(3t^2+8t)x-2t^3-4t^2$

הנקודה $B$ נמצאת ברביע השני, ולכן $t<0$ וגם:

כלומר $-4<t<0$.

הנקודה $C$ היא נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה־$y$, כלומר $x=0$:

הנקודה $C$ מתחת לציר ה־$x$:

מכיוון ש־$t\ne 0$, מתקיים $t^2>0$, ולכן:

יחד עם $-4<t<0$ מקבלים:

תשובה: $-2<t<0$

נבחר את $OC$ ‏(‏על ציר ה־$y$‏)‏ כבסיס. אורכו:

הגובה לבסיס הוא המרחק של $B$ מציר ה־$y$: $|t|=-t$.

נגזור:

הנגזרת מתאפסת: $S^{\prime }(t)=0$ בתחום: $t=-1.5$.

תשובה: $S_{max}=\frac{27}{16}=1.6875$