בגרות חורף תשפ״ה (2025)

עבור $n=2$ (המספר הזוגי הראשון) באגף שמאל יש מחובר אחד בלבד — $8$.

באגף ימין נציב $n=2$:

נשווה:

תשובה: $a=2$

עבור $a=2$ צריך להוכיח שלכל $n$ טבעי זוגי:

המחוברים הם:

כל מחובר הוא מכפלה של מספר זוגי במספר הזוגי שאחריו. לכן בכל צעד עוברים ממספר זוגי $k$ למספר הזוגי הבא, $k+2$.

בדיקה עבור $n=2$: באגף שמאל $8$, ובאגף ימין:

הנחה: נניח שהטענה נכונה עבור $n=k$ (‏$k$ זוגי):

צעד: נוכיח עבור $n=k+2$. המחובר הבא בסדרה הוא $(k+2)(k+4)$, וצריך להראות:

לפי ההנחה אגף שמאל שווה ל:

נוציא גורם משותף $\frac{(k+2)(k+4)}{6}$:

קיבלנו את אגף ימין, ולכן הטענה נכונה עבור $n=k+2$. לפי עקרון האינדוקציה השוויון נכון לכל $n$ טבעי זוגי.

תשובה: הוכחה באינדוקציה על $n$ זוגי: בדיקה עבור $n=2$, הנחה עבור $n=k$, וצעד עבור $n=k+2$.

נסמן ב־$x$ את מספר המועמדים שהצליחו בשני המבחנים.

מספר המועמדים שהצליחו רק במבחן הראשון קטן פי 4:

$\frac{8}{9}$ מהמצליחים במבחן השני הצליחו גם בראשון, כלומר $x$ הוא $\frac{8}{9}$ ממספר המצליחים בשני:

מספר המצליחים לפחות במבחן אחד:

נסמן ב־$N$ את מספר כל המועמדים. לפי הנתון:

לכן ההסתברות להצליח לפחות במבחן אחד:

תשובה: $5.5p=\frac{11}{2}p$

נסמן: $A$ — המועמד הצליח בשני המבחנים, $B$ — המועמד הצליח לפחות במבחן אחד. ידוע ש־$B$ התרחש, ולכן המבוקש הוא $P(A/B)$. לפי נוסחת ההסתברות המותנית:

מי שהצליח בשני המבחנים הצליח גם לפחות באחד, כלומר $A$ מוכל ב־$B$, ולכן $P(A\cap B)=P(A)$.

מסעיף ב (1): $P(A)=\frac{x}{N}=4p$ ו־$P(B)=5.5p$. נציב:

תשובה: $\frac{8}{11}\approx 0.727$

$f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$: הביטוי שבתוך השורש חייב להיות חיובי (הוא במכנה, ולכן לא יכול להיות 0):

$x^2-1>0\Rightarrow x<-1$  או  $x>1$

$g(x)=\frac{\sqrt{x}}{x^2-1}$: השורש במונה מחייב $x\ge 0$, והמכנה לא מתאפס: $x\ne \pm 1$. יחד:

$h(x)=\sqrt{\frac{x}{x^2-1}}$: צריך $\frac{x}{x^2-1}\ge 0$, וגם $x\ne \pm 1$. טבלת סימנים:

בנוסף, ב־$x=0$ המנה שווה ל־0 (מותר). לכן:

$-1<x\le 0$  או  $x>1$

תשובה: $f$: $x<-1$ או $x>1$
$g$: $x\ge 0$, $x\ne 1$
$h$: $-1<x\le 0$ או $x>1$

נתאים לפי תחומי ההגדרה מסעיף ג (1):

$f$: מוגדרת רק עבור $x<-1$ ועבור $x>1$ — שני ענפים, בלי שום נקודה בין $-1$ ל־$1$. רק בגרף 3 אין נקודות בתחום $-1\le x\le 1$. נבדוק גם: עבור $x<-1$ המונה שלילי, ולכן $f(x)<0$, ועבור $x>1$ מתקיים $f(x)>0$ — כמו בגרף 3. לכן $f$ — גרף 3.

$g$: מוגדרת רק עבור $x\ge 0$, ו־$g(0)=0$. בתחום $0<x<1$ המכנה $x^2-1$ שלילי, ולכן $g(x)<0$; עבור $x>1$ מתקיים $g(x)>0$. רק בגרף 1 הגרף מתחיל בראשית, יורד מתחת לציר ה־$x$ עד האסימפטוטה $x=1$, ומימינה חיובי. לכן $g$ — גרף 1.

$h$: מוגדרת בתחום $-1<x\le 0$ ובתחום $x>1$, ו־$h(x)\ge 0$ (שורש). רק בגרף 5 יש ענף בין $-1$ ל־$0$ ועוד ענף מימין ל־$1$, שניהם מעל ציר ה־$x$. לכן $h$ — גרף 5.

תשובה: $f$ – גרף 3
$g$ – גרף 1
$h$ – גרף 5

תחומי עלייה וירידה של $f$: $f$ אי־זוגית, ולכן הגרף שלה סימטרי ביחס לראשית. לנקודת המינימום $(3,-6)$ מתאימה נקודת מקסימום $(-3,6)$. לפי הסרטוט:

זוגיות: הנגזרת של פונקציה אי־זוגית היא פונקציה זוגית, ולכן הגרף של $f^{\prime }$ סימטרי ביחס לציר ה־$y$.

אסימפטוטה: לפי הנתון, ל־$f^{\prime }$ יש אסימפטוטה אופקית $y=0$.

לכן: $f^{\prime }$ מתאפסת ב־$x=-3$ וב־$x=3$, שלילית ביניהן (הערך הנמוך ביותר ב־$x=0$, שם $f$ יורדת בתלילות הרבה ביותר), חיובית משמאל ל־$-3$ ומימין ל־$3$, ומתקרבת ל־0 כאשר $x\to \pm \infty$.

תשובה: $f^{\prime }$ זוגית; מתאפסת ב־$x=\pm 3$; שלילית בין $-3$ ל־$3$ וחיובית מחוץ לתחום זה; שואפת ל־0 כאשר $x\to \pm \infty$

נחפש מתי $g(x)=f^2(x)\cdot f^{\prime }(x)=0$. מכפלה שווה ל־0 כאשר אחד הגורמים שווה ל־0:

$f(x)=0$: לפי הסרטוט הגרף של $f$ חותך את ציר ה־$x$ רק בראשית (מימין ל־0 הפונקציה שלילית: יורדת עד $-6$ ואחר כך עולה ומתקרבת ל־0 בלי להגיע אליו; ומשמאל ל־0, מהסימטריה, היא חיובית). לכן $x=0$.

$f^{\prime }(x)=0$: בנקודות הקיצון, $x=-3$ ו־$x=3$.

נקודות החיתוך של $g$ עם ציר ה־$x$:

תשובה: $(-3,0),(0,0),(3,0)$

פונקציה קדומה: לפי כלל השרשרת, הנגזרת של $\frac{f^3(x)}{3}$ היא $f^2(x)\cdot f^{\prime }(x)=g(x)$. לכן:

סימן $g$: $f^2(x)\ge 0$, ולכן הסימן של $g$ הוא הסימן של $f^{\prime }$. בין $-3$ ל־$3$ מתקיים $f^{\prime }(x)<0$, כלומר $g(x)\le 0$ — הגרף של $g$ מתחת לציר ה־$x$. מחוץ לתחום הזה השטח בין $g$ לציר אינו מוגבל (אין עוד נקודת חיתוך), ולכן השטח המבוקש הוא בין $x=-3$ ל־$x=3$.

נשתמש בערכים $f(-3)=6$ ו־$f(3)=-6$:

האינטגרל שלילי כי השטח מתחת לציר ה־$x$, ולכן:

תשובה: 144 יחידות שטח