בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד א׳

נוכיח שלכל $n$ טבעי:

שלב 1 – בדיקה עבור $n=1$:

האגפים שווים, ולכן הטענה נכונה עבור $n=1$.

שלב 2 – הנחה: נניח שהטענה נכונה עבור $n=k$:

שלב 3 – צעד: נוכיח שהטענה נכונה עבור $n=k+1$, כלומר:

באגף שמאל, סכום האיברים עד האיבר ה־$k$ שווה לפי ההנחה ל־$\frac{k(k+1)}{2(2k+1)}$, ולכן אגף שמאל שווה ל:

נוציא את $\frac{k+1}{2k+1}$ כגורם משותף:

נפרק את הטרינום:

ולכן:

קיבלנו את אגף ימין. לפי עקרון האינדוקצייה, הטענה נכונה לכל $n$ טבעי.

תשובה: הוכחה באינדוקצייה מתמטית: בדיקה, הנחה וצעד.

נגדיר את המאורעות: $C$ – הספר הוא ספר קומיקס, $H$ – הספר הוא בעברית. לפי הנתונים:

טענה I: לפי נוסחת החיבור:

הסתברות של מאורע היא לכל היותר 1, כלומר $P(C\cup H)\le 1$, ולכן:

כלומר לפחות 30% מהספרים הם ספרי קומיקס בעברית, ולכן יש לו ספרי קומיקס בעברית. טענה I אינה נכונה.

טענה II: לפי הגדרת ההסתברות המותנית:

המונים שווים וחיוביים ‏(‏לפחות 0.3‏)‏, והמכנה בשבר הראשון קטן יותר, ולכן $P(H/C)>P(C/H)$. טענה II נכונה.

תשובה: טענה I לא נכונה ‏(‏לפחות 30% מהספרים הם קומיקס בעברית‏)‏; טענה II נכונה.

$g(x)=\frac{1}{f^2(x)}$ מוגדרת כאשר $f(x)$ מוגדרת ו־$f(x)\ne 0$.

$f(x)$ מוגדרת לכל $x$, ולפי הגרף היא מתאפסת רק ב־$x=12$ ‏(‏חותכת את ציר ה־$x$ רק בנקודה זו‏)‏.

תשובה: תחום ההגדרה: $x\ne 12$

אסימפטוטות: ב־$x=12$ מתקיים $f(x)\to 0$, ולכן $g(x)\to +\infty$: אסימפטוטה אנכית $x=12$.

כאשר $x\to \pm \infty$ גם $f(x)\to 0$ ‏(‏האסימפטוטה $y=0$‏)‏, ולכן $g(x)\to +\infty$ – ל־$g$ אין אסימפטוטה אופקית.

חיוביות: $g(x)=\frac{1}{f^2(x)}>0$ לכל $x$ בתחום.

נקודות קיצון: נגזור:

$g^{\prime }(x)=0$ רק כאשר $f^{\prime }(x)=0$, כלומר ב־$x=6$ וב־$x=18$.

לכן ל־$g$ שתי נקודות מינימום:

כיוון ש־$a>1$, המינימום הימני נמוך יותר: $\frac{1}{4a^2}<\frac{1}{a^2}$.

תשובה: סקיצה: $g>0$, אסימפטוטה אנכית $x=12$, מינימום $(6,\frac{1}{a^2})$ ומינימום $(18,\frac{1}{4a^2})$, ואין אסימפטוטה אופקית.

נבדוק כמה נקודות חיתוך יש לישר אופקי $y=c$ עם הגרף של $g$ ‏(‏לפי הסקיצה‏)‏:

• $c>\frac{1}{a^2}$: ארבע נקודות.
• $c=\frac{1}{a^2}$: שלוש נקודות – נקודת המינימום $(6,\frac{1}{a^2})$ ועוד שתי נקודות בענף הימני.
• $\frac{1}{4a^2}<c<\frac{1}{a^2}$: שתי נקודות.
• $c=\frac{1}{4a^2}$: נקודה אחת.

לכן בדיוק שלוש נקודות חיתוך מתקבלות רק כאשר הישר עובר דרך המינימום השמאלי:

$a=3$ מקיים $a>1$.

תשובה: $a=3$

$g^{\prime }(x)=f(x)$, ולכן $g(x)$ היא פונקציה קדומה של $f(x)$:

המונה הוא כמעט הנגזרת של הביטוי שבסוגריים: $(x^3-8{)}^{\prime }=3x^2$, ו־$-30x^2=-10\cdot 3x^2$. לכן:

בדיקה בגזירה:

נציב $g(0)=0.75$:

תשובה: $g(x)=\frac{10}{x^3-8}+2$

• לכל $x\ne 2$:
  $g^{\prime }(x)=\frac{-30x^2}{(x^3-8{)}^2}\le 0$
  ולכן $g$ יורדת בכל קטע של תחום ההגדרה. זה פוסל את גרף III ‏(‏יש בו מינימום‏)‏ ואת גרף IV ‏(‏עולה‏)‏.
• $g^{\prime }(0)=f(0)=0$, ולכן לגרף של $g$ יש משיק אופקי בנקודה $(0,0.75)$. בגרף I יש משיק אופקי על ציר ה־$y$, ובגרף II אין.

בנוסף, בגרף I רואים אסימפטוטה אנכית $x=2$ ‏(‏המכנה $x^3-8$ מתאפס‏)‏ ואסימפטוטה אופקית $y=2$, כמצופה.

תשובה: גרף I