בגרות קיץ תשפ״ג (2023) – מועד א׳

אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס ב־$x=0$, והמונה שם שווה ל־$2a\ne 0$. לכן:

אסימפטוטה אופקית: נכתוב

כאשר $x\to \infty$ מתקיים $\frac{2a}{x}\to 0$ ו־$-x\to -\infty$, ולכן $f(x)\to -\infty$; כאשר $x\to -\infty$, $f(x)\to \infty$. הפונקציה לא שואפת למספר — אין אסימפטוטה אופקית.

תשובה: $x=0$; אין אסימפטוטה אופקית

תחום ההגדרה $x\ne 0$ סימטרי ביחס ל־0.

לכן הפונקציה אי־זוגית.

תשובה: $f(-x)=-f(x)$, ולכן $f$ אי־זוגית.

ציר ה־$y$: $x=0$ אינו בתחום ההגדרה — אין נקודת חיתוך.

ציר ה־$x$:

הנקודות:

תשובה: $(\sqrt{2a},0)$, $(-\sqrt{2a},0)$; אין חיתוך עם ציר ה־$y$

$a>0$ ו־$x^2>0$, ולכן $-\frac{2a}{x^2}<0$ ו־$f^{\prime }(x)<0$ לכל $x$ בתחום.

תחומי ירידה: $x<0$, $x>0$.

תחומי עלייה: אין.

תשובה: ירידה: $x<0$ וגם $x>0$
אין תחומי עלייה

$a>0$, ולכן הסימן של $f^{\prime \prime }$ הוא הסימן של $x^3$, כלומר של $x$:

• $x>0$: $f^{\prime \prime }(x)>0$ — קעורה כלפי מעלה $\cup$.
• $x<0$: $f^{\prime \prime }(x)<0$ — קעורה כלפי מטה $\cap$.

אין נקודת פיתול, כי $x=0$ אינו בתחום.

תשובה: קעורה כלפי מעלה: $x>0$
קעורה כלפי מטה: $x<0$

לפי סעיף א:

• אסימפטוטה אנכית $x=0$; הפונקציה אי־זוגית — הגרף סימטרי ביחס לראשית.
• הפונקציה יורדת בכל אחד מהענפים.
• ענף ימני: כאשר $x\to 0^{+}$, $f(x)\to +\infty$. הוא יורד, חותך את ציר ה־$x$ ב־$(\sqrt{2a},0)$ ויורד ל־$-\infty$. קעור כלפי מעלה.
• ענף שמאלי: מתקבל מהסימטריה — יורד מ־$+\infty$ דרך $(-\sqrt{2a},0)$ ל־$-\infty$ ליד $x=0^{-}$. קעור כלפי מטה.

תשובה: שני ענפים יורדים, אסימפטוטה $x=0$, חיתוך ב־$(\pm \sqrt{2a},0)$; הענף הימני $\cup$ והשמאלי $\cap$, סימטריים ביחס לראשית

הגרף של $|f(x)|$: החלקים של $f$ שמתחת לציר ה־$x$ משתקפים מעליו, והחלקים שמעליו נשארים. מתקבל גרף שכולו מעל ציר ה־$x$ או עליו, ונוגע בציר ב־$(\pm \sqrt{2a},0)$ — אלה נקודות מינימום (חדות). $|f|$ פונקציה זוגית, כי $f$ אי־זוגית.

הגרף של $g(x)=|f(x)|-b$: הזזה של $b$ יחידות כלפי מטה:

• נקודות מינימום: $(\sqrt{2a},-b)$ ו־$(-\sqrt{2a},-b)$.
• אסימפטוטה אנכית $x=0$, ושם $g(x)\to +\infty$ משני הצדדים.
• כאשר $x\to \pm \infty$, $g(x)\to +\infty$.

תשובה: גרף זוגי מעל $y=-b$, עם מינימום ב־$(\pm \sqrt{2a},-b)$ ואסימפטוטה $x=0$

לפי סעיף ג, נקודות הקיצון של $g$ הן $(\pm \sqrt{2a},-b)$. הנקודה $(2,-3)$ היא אחת מהן, עם $x>0$:

תשובה: $a=2$, $b=3$

לפי המשפט היסודי, $s^{\prime }(x)=g(x)$. עבור $a=2$, $b=3$ ובתחום $x>1$:

$s^{\prime }(x)=0$: $|\frac{4}{x}-x|=3$.

• $\frac{4}{x}-x=3$: $x^2+3x-4=0$, כלומר $x=1$ או $x=-4$ — לא בתחום $x>1$.
• $\frac{4}{x}-x=-3$: $x^2-3x-4=0$, כלומר $x=4$ או $x=-1$ — מתאים רק $x=4$.

סימן $s^{\prime }$:

ל־$s(x)$ יש נקודת מינימום ב־$x=4$.

תשובה: נקודת מינימום, ב־$x=4$.

לפי גרף הנגזרת:

• עבור $x<0$ הגרף של $f^{\prime }$ מעל ציר ה־$x$: $f^{\prime }(x)>0$.
• עבור $0<x<a$ הגרף של $f^{\prime }$ מתחת לציר ה־$x$: $f^{\prime }(x)<0$.

תחום עלייה: $x<0$.

תחום ירידה: $0<x\le a$, כי הפונקציה $f$ מוגדרת גם ב־$x=a$.

תשובה: עלייה: $x<0$
ירידה: $0<x\le a$

בנקודת פיתול של $f$ הנגזרת $f^{\prime }$ עוברת מעלייה לירידה או להפך, כלומר ל־$f^{\prime }$ יש שם נקודת קיצון.

• בתחום $x<0$ הנגזרת $f^{\prime }$ עולה, לפי הנתון — אין לה קיצון, ולכן אין שם נקודת פיתול.
• בתחום $0<x<a$ הגרף של $f^{\prime }$ עולה ואחר כך יורד — יש לו נקודת מקסימום אחת. שם $f$ עוברת מקעירות כלפי מעלה לקעירות כלפי מטה.

לכן ל־$f$ יש נקודת פיתול אחת, בתחום $0<x<a$.

תשובה: נקודת פיתול אחת.

נאסוף את הנתונים:

• $x<0$: $f$ עולה וקעורה כלפי מעלה, כי $f^{\prime }$ עולה. $y=0$ אסימפטוטה, ולכן כאשר $x\to -\infty$ הגרף מתקרב ל־0 מלמעלה, ועולה ל־$+\infty$ ליד האסימפטוטה $x=0$.
• $0<x\le a$: $f$ יורדת עד $f(a)=0$. היא יורדת ומגיעה ל־0, ולכן ליד $x=0^{+}$ היא שואפת ל־$+\infty$. בתחילה היא קעורה כלפי מעלה, ואחרי נקודת הפיתול — כלפי מטה.

תשובה: ענף שמאלי: עולה מהאסימפטוטה $y=0$ ל־$+\infty$ ליד $x=0$
ענף ימני: יורד מ־$+\infty$ עד $(a,0)$, עם נקודת פיתול אחת

תחום ההגדרה של $f$ הוא $x\le a$, $x\ne 0$. בביטויים II ו־IV מופיע $\sqrt{x-a}$, שמוגדר רק עבור $x\ge a$ — הם לא מתאימים.

סימן: לפי סעיף ב, $f(x)>0$ עבור $x<0$, כי הפונקציה עולה מ־0.

• ביטוי III, $\frac{\sqrt{a-x}}{x}$: עבור $x<0$ המכנה שלילי, ולכן הביטוי שלילי — לא מתאים.
• ביטוי I, $\frac{\sqrt{a-x}}{x^2}$: חיובי לכל $x<a$, $x\ne 0$, ו־$f(a)=0$ — מתאים.

לכן $f$ מיוצגת על ידי ביטוי I.

תשובה: ביטוי I: $f(x)=\frac{\sqrt{a-x}}{x^2}$

נגזרת (כלל המנה):

נכפול מונה ומכנה ב־$2\sqrt{a-x}$ ונצמצם ב־$x$:

נציב $x=-2$:

נעלה בריבוע:

$a>0$, ולכן $a=2$. בדיקה: $6+8=14=7\sqrt{4}$ ✓.

תשובה: $a=2$

עבור $a=2$:

הפונקציה $(f(x){)}^2$ מתאפסת ב־$x=2$ וחיובית עבור $x<2$. השטח המוגבל על ידי הגרף, ציר ה־$x$ והישר $x=1$ נמצא בין $x=1$ ל־$x=2$:

תשובה: $\frac{5}{24}$