מצגת הסבר – סדרות ואינדוקצייה

12 שקפים · סדרה חשבונית והנדסית, הוכחת סדרה חדשה, סכום אין־סופי ותת־סדרות

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא 🎬 סרטון הסבר

בס״דסדרות ואינדוקצייה · מצגת הסבר

סדרות ואינדוקצייה

מצגת הסבר – חשבונית, הנדסית וסכום אין־סופי

מתמטיקה 5 יח״לשאלון 35571תכנית חדשה

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355711 / 12

בס״דסדרות ואינדוקצייה · מצגת הסבר

מה נלמד?

בבחינה זו שאלה 2. רוב השאלות בנויות כך:

נתונה סדרה (לרוב הנדסית) עם פרמטר
בונים ממנה סדרה חדשה ומוכיחים שהיא הנדסית או חשבונית
סכום – של $n$ איברים או של סדרה אין־סופית
מוחקים / הופכים סימן לחלק מהאיברים ומחשבים שוב

הכלי הכי חשוב

להוכיח ש־ $b_{n}$ הנדסית: מראים שהמנה

\frac{b _{n + 1}}{b _{n}}

קבועה

להוכיח ש־ $b_{n}$ חשבונית: מראים שההפרש

b_{n + 1} - b_{n}

קבוע

(קבוע = לא תלוי ב־ $n$ )

ולפעמים: הוכחה של נוסחת סכום באינדוקציה (שקף 9). עוד אינדוקציה – בשאלה 1, במצגת „שאלות קצרות”.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355712 / 12

בס״דסדרות ואינדוקצייה · מצגת הסבר

הנוסחאות מהנוסחאון

סדרה חשבונית

כלל נסיגה: $a_{1} = a, a_{n + 1} = a_{n} + d$

האיבר ה־ $n$ ־י:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

סכום:

S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2} = \frac{n [ 2 a _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}

סדרה הנדסית

כלל נסיגה: $a_{1} = a, a_{n + 1} = a_{n} \cdot q$

האיבר ה־ $n$ ־י:

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

סכום ( $q \neq = 1$ ):

S_{n} = \frac{a _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}

סכום סדרה אין־סופית שסכומה מתכנס:

S = \frac{a _{1}}{1 - q}

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355713 / 12

בס״דסדרות ואינדוקצייה · מצגת הסבר

להוכיח שסדרה חדשה היא הנדסית

כותבים את $b_{n}$ בעזרת $a_{n}$ ו־ $q$ (בעזרת $a_{n + 1} = a_{n} q$ ).
כותבים גם את $b_{n + 1}$ .
מחשבים את המנה $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}}$ ומצמצמים.
יצא מספר שלא תלוי ב־ $n$ ← הנדסית, וזו המנה.

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 2

$a_{n}$ הנדסית עם מנה $q$ , ‏ $b_{n} = a_{n} + a_{n + 1} + a_{n + 2}$

b_{n} = a_{n} + a_{n} q + a_{n} q^{2} = a_{n} (1 + q + q^{2})

\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = \frac{a _{n + 1} ( 1 + q + q ^{2} )}{a _{n} ( 1 + q + q ^{2} )} = \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = q

המנה קבועה ← $b_{n}$ הנדסית עם מנה $q$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355714 / 12

בס״דסדרות ואינדוקצייה · מצגת הסבר

עולה, יורדת, או לא זה ולא זה?

המנה $q$	$a_{1} > 0$	$a_{1} < 0$
$q > 1$	עולה	יורדת
$0 < q < 1$	יורדת	עולה
$q < 0$	הסימנים מתחלפים – לא עולה ולא יורדת

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 2

כל האיברים חיוביים והסדרה יורדת. מה התחום של $q$ ?

האיברים חיוביים ← $q = \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} > 0$

יורדת ← $a_{n + 1} < a_{n}$ , מחלקים ב־ $a_{n} > 0$ :

q = \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} < 1

$0 < q < 1$

נימוק מלא תמיד עובר דרך $a_{n + 1}$ מול $a_{n}$ – לא רק „לפי הטבלה”.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355715 / 12

בס״דסדרות ואינדוקצייה · מצגת הסבר

סכום של סדרה הנדסית אין־סופית

התנאי להתכנסות

- 1 < q < 1, q \neq = 0

ורק אז מותר: $S = \frac{a _{1}}{1 - q}$

כששואלים „מצאו את תחום הערכים של הפרמטר” – מציבים את המנה (שתלויה בפרמטר) בתנאי.

בגרות חורף תשפ״ה (2025) · שאלה 2

המנה של $B$ היא $\frac{k}{2}$ ( $k \neq = 0$ ), וסכומה מתכנס:

- 1 < \frac{k}{2} < 1 \Rightarrow - 2 < k < 2

ובלי $k = 0$ :

$- 2 < k < 0$ או $0 < k < 2$

נתון: המנה $\frac{1}{4}$ והסכום $- 9$ :

\frac{b _{1}}{1 - \frac{1}{4}} = - 9 \Rightarrow b_{1} = - \frac{27}{4}

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355716 / 12

בס״דסדרות ואינדוקצייה · מצגת הסבר

מחיקת איברים – תת־סדרה

האיברים במקומות הזוגיים $a_{2}, a_{4}, a_{6}, \dots$ הם סדרה הנדסית עם מנה $q^{2}$ .

כל איבר שלישי $a_{3}, a_{6}, a_{9}, \dots$ – מנה $q^{3}$ .

סכום הנותרים = סכום הכול פחות סכום הנמחקים.

בגרות חורף תשפ״ה (2025) · שאלה 2

בסדרה $B$ (שבה $q = \frac{1}{4}, S = - 9$ ) מחקו כל איבר שלישי. מה סכום האיברים הנותרים?

b_{3} = b_{1} q^{2} = - \frac{27}{4} \cdot \frac{1}{16} = - \frac{27}{64}

המנה של הנמחקים: $q^{3} = \frac{1}{64}$

סכום הנמחקים:

\frac{- \frac{27}{64}}{1 - \frac{1}{64}} = - \frac{27}{63} = - \frac{3}{7}

- 9 - (- \frac{3}{7}) = - \frac{60}{7}

סכום הנותרים: $- 8 \frac{4}{7}$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355717 / 12

בס״דסדרות ואינדוקצייה · מצגת הסבר

הוכחה באינדוקציה

בדיקה: מציבים $n = 1$ בשני האגפים ומראים שווים.
הנחה: „נניח שהטענה נכונה עבור $n = k$ ” – כותבים אותה.
צעד: כותבים מה צריך להוכיח עבור $n = k + 1$ .
באגף שמאל מזהים את הסכום עד $k$ ← מחליפים לפי ההנחה ומפשטים עד אגף ימין.
מסיימים: „לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל $n$ טבעי”.

בגרות חורף תשפ״ו (2026) · שאלה 2

$b_{n} = 1 6^{n - 1}$ . הוכיחו: $b_{1} + \dots + b_{n} = \frac{1 6 ^{n} - 1}{15}$

בדיקה: $b_{1} = 1$ , ‏ $\frac{16 - 1}{15} = 1$ ✓

הנחה: $b_{1} + \dots + b_{k} = \frac{1 6 ^{k} - 1}{15}$

צעד: לפי ההנחה,

b_{1} + \dots + b_{k} + b_{k + 1} = \frac{1 6 ^{k} - 1}{15} + 1 6^{k}

= \frac{1 6 ^{k} - 1 + 15 \cdot 1 6 ^{k}}{15} = \frac{1 6 ^{k + 1} - 1}{15}

באתר גם דרך ב׳: $b_{n}$ הנדסית עם $q = 16$ ← נוסחת $S_{n}$ .

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355718 / 12

בס״דסדרות ואינדוקצייה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה (ב, ג)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 2

$a_{n}$ סדרה הנדסית אין־סופית יורדת שכל איבריה חיוביים. ‏ $b_{n} = a_{n} + a_{n + 1} + a_{n + 2}$ . נתון: סכום הסדרה $b_{n}$ גדול פי 1.96 מסכום הסדרה $a_{n}$ . מצאו את $q$ .

מסעיף ב: $b_{n}$ הנדסית עם אותה מנה $q$ , ו־ $b_{1} = a_{1} (1 + q + q^{2})$ .

S_{b} = \frac{b _{1}}{1 - q} = \frac{a _{1} ( 1 + q + q ^{2} )}{1 - q}

S_{b} = (1 + q + q^{2}) \cdot S_{a}

1 + q + q^{2} = 1.96

q^{2} + q - 0.96 = 0

q = \frac{- 1 \pm 1 + 3.84}{2} = \frac{- 1 \pm 2.2}{2}

$q = 0.6$ או $q = - 1.6$ . לפי סעיף א: $0 < q < 1$ .

$q = 0.6$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355719 / 12

בס״דסדרות ואינדוקצייה · מצגת הסבר

שאלת בגרות פתורה (ד, ה)

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 2

$c_{n} = \frac{b _{n}}{4 a _{n}}$ . הוכיחו שכל האיברים שווים, ומצאו $k$ כך שסכום $k$ האיברים הראשונים הוא 34.79.

c_{n} = \frac{a _{n} ( 1 + q + q ^{2} )}{4 a _{n}} = \frac{1.96}{4} = 0.49

לא תלוי ב־ $n$ ← כל האיברים שווים.

0.49 k = 34.79 \Rightarrow k = 71

הופכים את הסימן של האיברים במקומות הזוגיים. מה סכום 71 האיברים הראשונים?

במקומות האי־זוגיים $0.49$ , ובזוגיים $- 0.49$ . ב־71 מקומות: 36 אי־זוגיים ו־35 זוגיים.

36 \cdot 0.49 - 35 \cdot 0.49 = 0.49

$0.49$

כל זוג מתאפס, ונשאר רק האיבר ה־71.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557110 / 12

בס״דסדרות ואינדוקצייה · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

$S = \frac{a _{1}}{1 - q}$ רק כש־ $- 1 < q < 1$ . בודקים את התנאי לפני שמציבים.
במשוואה ריבועית ב־ $q$ – פוסלים פתרון שלא מתאים לנתונים (כמו $q = - 1.6$ ).
$a_{n} = a_{1} q^{n - 1}$ – החזקה $n - 1$ , לא $n$ .

תת־סדרה של כל איבר $k$ ־י: המנה $q^{k}$ , והאיבר הראשון שלה הוא האיבר ה־ $k$ , לא $a_{1}$ .
„הוכיחו שהסדרה הנדסית” – מראים מנה שלא תלויה ב־ $n$ .
סופרים מקומות בזהירות: ב־71 איברים יש 36 אי־זוגיים.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557111 / 12

בס״דסדרות ואינדוקצייה · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

סדרה הנדסית אין־סופית שבה $a_{1} = 48, q = \frac{1}{2}$

מצאו את $a_{5}$ ואת $S_{5}$ .
מצאו את סכום כל הסדרה.
מה סכום האיברים במקומות הזוגיים?
הוכיחו ש־ $b_{n} = a_{n} \cdot a_{n + 1}$ סדרה הנדסית, ומצאו את מנתה.

סדרה חשבונית שבה $a_{1} = 5, d = 3$

מצאו את $a_{20}$ ואת $S_{20}$ .

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

$a_{5} = 48 \cdot (\frac{1}{2})^{4} = 3$
$S_{5} = \frac{48 ( ( \frac{1}{2} ) ^{5} - 1 )}{\frac{1}{2} - 1} = 93$
$S = \frac{48}{1 - \frac{1}{2}} = 96$
$a_{2} = 24$ , המנה $\frac{1}{4}$ : $\frac{24}{1 - \frac{1}{4}} = 32$
$\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = \frac{a _{n + 1} a _{n + 2}}{a _{n} a _{n + 1}} = q^{2} = \frac{1}{4}$
$a_{20} = 5 + 19 \cdot 3 = 62$
$S_{20} = \frac{20 ( 5 + 62 )}{2} = 670$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557112 / 12

› לכל המצגות