מצגת הסבר – שאלות קצרות

11 שקפים · אינדוקציה, התאמת גרפים, גרפים של f, f′, f″ ושטח

⬇ הורדת PDF ✏️ לשאלות בגרות בנושא

בס״דשאלות קצרות · מצגת הסבר

שאלות קצרות

מצגת הסבר – אינדוקציה, גרפים של פונקציה ונגזרות, ושטח

מתמטיקה 5 יח״לשאלון 35571תכנית חדשה

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355711 / 11

בס״דשאלות קצרות · מצגת הסבר

מה זו שאלה 1?

שאלה 1 בנויה מכמה סעיפים קצרים (לרוב 4), כל אחד מנושא אחר. מה חוזר הכי הרבה ב־17 המועדים שבאתר:

סוג הסעיף	בכמה מועדים
הוכחה באינדוקציה (סכום / התחלקות)	13 מתוך 17
משיק, אסימפטוטה, התאמת גרף לביטוי	כמעט בכל מועד
שטח / פונקציה קדומה	11 מתוך 17
גרפים של $f, f^{'}, f^{''}$ ונקודות פיתול	6 מתוך 17
הוכחה קצרה בגאומטרייה	בחלק מהמועדים

איך ניגשים

כל סעיף קצר – אבל הנימוק חייב להיות מלא. מתחילים מהסעיף שהכי בטוחים בו.

אינדוקציה = נקודות „בטוחות”: התבנית תמיד אותה תבנית.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355712 / 11

בס״דשאלות קצרות · מצגת הסבר

הוכחה באינדוקציה – התבנית

בדיקה: מציבים את הערך הראשון ( $n = 1$ , או מה שנתון) ומראים שהטענה נכונה.
הנחה: „נניח שהטענה נכונה עבור $n = k$ ” – כותבים אותה במפורש.
צעד: כותבים מה צריך להוכיח עבור $n = k + 1$ .
משתמשים בהנחה בתוך אגף שמאל ומפשטים עד שמקבלים את אגף ימין.
סיום: „לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל $n$ טבעי”.

שני סוגים

סכום: אגף שמאל עד $k + 1$ = (הסכום עד $k$ ) + המחובר האחרון.

התחלקות: כותבים את הביטוי עבור $k + 1$ בעזרת הביטוי עבור $k$ (שמתחלק לפי ההנחה) ועוד מחובר שמתחלק.

טיפ: בצעד מוציאים גורם משותף במקום לפתוח הכול.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355713 / 11

בס״דשאלות קצרות · מצגת הסבר

אינדוקציה – סכום

בגרות קיץ תשפ״ה (2025) – מועד א׳ · שאלה 1

הוכיחו שלכל $n$ טבעי:

2^{2} + 4^{2} + \dots + (2 n)^{2} = \frac{2 n ( 2 n + 1 ) ( n + 1 )}{3}

בדיקה: אגף שמאל $2^{2} = 4$ ; אגף ימין:

\frac{2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2}{3} = 4 ✓

הנחה עבור $n = k$ :

2^{2} + \dots + (2 k)^{2} = \frac{2 k ( 2 k + 1 ) ( k + 1 )}{3}

צעד: לפי ההנחה, אגף שמאל עבור $n = k + 1$ :

\frac{2 k ( 2 k + 1 ) ( k + 1 )}{3} + 4 (k + 1)^{2}

= \frac{2 ( k + 1 )}{3} [k (2 k + 1) + 6 (k + 1)]

= \frac{2 ( k + 1 )}{3} (2 k^{2} + 7 k + 6)

= \frac{2 ( k + 1 ) ( 2 k + 3 ) ( k + 2 )}{3}

זה אגף ימין עבור $n = k + 1$ ✓

א (2). $4^{2} + \dots + 10 0^{2}$ : ‏ $n = 50$ פחות $2^{2}$ :

\frac{2 \cdot 50 \cdot 101 \cdot 51}{3} - 4 = 171, 696

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355714 / 11

בס״דשאלות קצרות · מצגת הסבר

אינדוקציה – התחלקות

בגרות קיץ תשפ״ב (2022) – מועד א׳ · שאלה 1

הוכיחו ש־ $4^{n} - 1$ מתחלק ב־3 לכל $n$ טבעי.

בדיקה: $4^{1} - 1 = 3$ ✓

הנחה: $4^{k} - 1$ מתחלק ב־3.

צעד: צריך להראות ש־ $4^{k + 1} - 1$ מתחלק ב־3:

4^{k + 1} - 1 = 4 \cdot 4^{k} - 4 + 3 = 4 (4^{k} - 1) + 3

$4 (4^{k} - 1)$ מתחלק ב־3 לפי ההנחה, וגם 3 מתחלק ב־3 ← הסכום מתחלק ב־3.

הטריק

„מוסיפים ומחסירים” כדי שיופיע הביטוי מההנחה:

4 \cdot 4^{k} - 1 = 4 \cdot 4^{k} - 4 + 3

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355715 / 11

בס״דשאלות קצרות · מצגת הסבר

גרפים של $f, f^{'}, f^{''}$

ב־ $f$	ב־ $f^{'}$	ב־ $f^{''}$
עולה	חיובית
קיצון	מתאפסת ומחליפה סימן
קעורה כלפי מעלה	עולה	חיובית
פיתול	נקודת קיצון	מתאפסת ומחליפה סימן

בגרות קיץ תשפ״ה (2025) – מועד א׳ · שאלה 1

נתונים שלושה גרפים: $f, f^{'}, f^{''}$ . חשבו את השטח בין $f^{'}$ ל־ $f^{''}$ בתחום $0 \leq x \leq a$ (ב־ $x = a$ מקסימום של $f$ ).

גרף $f^{'}$ מעל גרף $f^{''}$ , ו־ $f$ קדומה של $f^{'}$ , ‏ $f^{'}$ קדומה של $f^{''}$ :

S = \int_{0}^{a} (f^{'} - f^{''}) d x = [f (x) - f^{'} (x)]_{0}^{a}

מהגרפים: $f (a) = 5, f^{'} (a) = 0, f (0) = 4, f^{'} (0) = 2$

S = (5 - 0) - (4 - 2) = 3

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355716 / 11

בס״דשאלות קצרות · מצגת הסבר

התאמת גרף לביטוי

בגרות קיץ תשפ״ה (2025) – מועד א׳ · שאלה 1

$f (x) = \frac{2 ( x + 1 )}{( x ^{2} + 2 x ) ^{2}}$ . איזה מבין הגרפים I–IV מתאר את $f$ ?

תחום: $x (x + 2) \neq = 0$ ← $x \neq = 0, x \neq = - 2$ (שתי אסימפטוטות אנכיות).
סימן: המכנה ריבוע – חיובי. הסימן לפי המונה: חיובית כש־ $x > - 1$ (בלי 0), שלילית כש־ $x < - 1$ .
ליד האסימפטוטות: ליד $- 2$ המונה שלילי ← $- \infty$ משני הצדדים; ליד 0 – ‏ $+ \infty$ משני הצדדים.
פוסלים כל גרף שסותר אחד מאלה.

ד (3). המונה הוא נגזרת הביטוי שבריבוע: $(x^{2} + 2 x)^{'} = 2 (x + 1)$ , ולכן $F (x) = - \frac{1}{x ^{2} + 2 x}$ :

\int_{1}^{4} f (x) d x = - \frac{1}{24} + \frac{1}{3} = \frac{7}{24}

הגרף המתאים (III). השטח מ־1 עד 4 צבוע.

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355717 / 11

בס״דשאלות קצרות · מצגת הסבר

עוד דוגמה: תחום, סימן ושטח

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 1

ב1

הפונקציה מוגדרת רק עבור $x \leq 6$ , ובין 0 ל־6 היא שלילית. איזה ביטוי מתאים?

ביטויים עם $x - 6$ מוגדרים רק עבור $x \geq 6$ – נפסלים.

בין 0 ל־6: $x 6 - x > 0$ – נפסל; $- x 6 - x < 0$ ✓

$f (x) = - x 6 - x$

ב2

$g (x) = f^{2} (x)$ . חשבו את השטח המוגבל בין גרף $g$ לציר ה־ $x$ .

g (x) = x^{2} (6 - x) = 6 x^{2} - x^{3}

$g \geq 0$ , ומתאפסת ב־0 וב־6:

S = \int_{0}^{6} (6 x^{2} - x^{3}) d x = [2 x^{3} - \frac{x ^{4}}{4}]_{0}^{6}

= 432 - 324 = 108

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355718 / 11

בס״דשאלות קצרות · מצגת הסבר

אינדוקציה עם נוסחת סכום – עוד אחת

בגרות קיץ תשפ״ו (2026) – מועד ב׳ · שאלה 1

הוכיחו שלכל $n$ טבעי: $1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3} = \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4}$

בדיקה: $1^{3} = 1$ ו־ $\frac{1 \cdot 4}{4} = 1$ ✓

הנחה: $1^{3} + \dots + k^{3} = \frac{k ^{2} ( k + 1 ) ^{2}}{4}$

צעד: לפי ההנחה,

\frac{k ^{2} ( k + 1 ) ^{2}}{4} + (k + 1)^{3} = \frac{( k + 1 ) ^{2}}{4} (k^{2} + 4 k + 4)

= \frac{( k + 1 ) ^{2} ( k + 2 ) ^{2}}{4} ✓

ולפני ההוכחה

לפעמים מבקשים קודם למצוא פרמטר מהנוסחה. מציבים $n = 2$ (שני מחוברים):

1^{3} + 2^{3} = 9 = \frac{4 \cdot 9}{b} \Rightarrow b = 4

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 355719 / 11

בס״דשאלות קצרות · מצגת הסבר

שימו לב – הטעויות הנפוצות

באינדוקציה – לכתוב במפורש את ההנחה ואת מה שצריך להוכיח.
בצעד – חובה להשתמש בהנחה; בלי זה אין הוכחה.
בסכום: המחובר האחרון עבור $k + 1$ – מציבים $k + 1$ במחובר הכללי, למשל $(2 k + 2)^{2}$ .

בהתאמת גרף – נימוק במילים: תחום, סימן, אסימפטוטות.
שטח מתחת לציר ה־ $x$ – לוקחים ערך מוחלט / מחלקים לקטעים.
„פיתול” = $f^{''}$ מחליפה סימן (או קיצון של $f^{'}$ ), לא רק $f^{''} = 0$ .

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557110 / 11

בס״דשאלות קצרות · מצגת הסבר

בדיקה עצמית

הוכיחו באינדוקציה: $1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$
הוכיחו באינדוקציה ש־ $5^{n} - 1$ מתחלק ב־4.
הגרף של $f^{'}$ חותך את ציר ה־ $x$ ב־ $x = 2$ , משלילי לחיובי. מה יש ל־ $f$ ב־ $x = 2$ ?
נתון ש־ $f (1) = 2$ . וגם נתון $\int_{1}^{3} f^{'} (x) d x = 4$ . מצאו את $f (3)$ .

התשובות (לפתוח אחרי שפתרתם)

בדיקה: $1 = 1^{2}$ . צעד: $k^{2} + (2 k + 1) = (k + 1)^{2}$
בדיקה: $5 - 1 = 4$ . צעד: $5^{k + 1} - 1 = 5 (5^{k} - 1) + 4$
מינימום
$f (3) - f (1) = 4$ ← $f (3) = 6$

מתמטיקה 5 יח״ל · שאלון 3557111 / 11

› לכל המצגות

מצגת הסבר – שאלות קצרות

שאלות קצרות

מה זו שאלה 1?

איך ניגשים

הוכחה באינדוקציה – התבנית

שני סוגים

אינדוקציה – סכום

אינדוקציה – התחלקות

הטריק

גרפים של f, f′, f′′

התאמת גרף לביטוי

עוד דוגמה: תחום, סימן ושטח

אינדוקציה עם נוסחת סכום – עוד אחת

ולפני ההוכחה

שימו לב – הטעויות הנפוצות

בדיקה עצמית

גרפים של $f, f^{'}, f^{''}$